Školjka

%V0 U polja kvadrata $3 \times 3$ treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude $270$. Na koliko je načina to moguće napraviti?

%V0 Dokažite da za svaki prirodan broj $n \geq 2$ vrijedi ova jednakost $$\lfloor \log_{2}{n} \rfloor + \lfloor \log_{3}{n} \rfloor + \ldots + \lfloor \log_{n}{n} \rfloor = \lfloor \sqrt{n} \rfloor + \lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor + \ldots + \lfloor \sqrt[n]{n} \rfloor.$$ ( $\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

%V0 U trokutu $ABC$ je $a = |BC|$, $b = |CA|$, $c = |AB|$, $\alpha = \angle CAB$, $\beta = \angle ABC$, $\gamma = \angle BAC$. $a)$ Ako je $\alpha = 3\beta$, dokažite da je $(a^2 - b^2)(a - b) = bc^2$. $b)$ Vrijedi li obrat? Obrazložite.

%V0 U jednakokračnom trokutu $ABC$ s krakovima $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$, $D$ je polovište osnovice $\overline{BC}$. Neka je točka $E$ nožište okomice iz $D$ na stranicu $\overline{AB}$, te $F$ polovište dužine $\overline{DE}$. Dokaži da je $AF$ okomito na $EC$.

%V0 Neka je $ABC$ trokut sa stranicama duljina $a$, $b$ i $c$ i neka je $P$ točka u njegovoj unutrašnjosti. Neka pravac $AP$ ponovno siječe kružnicu opisanu trokutu $BCP$ u točki $A'$ i neka su $B'$ i $C'$ točke definirane analogno. Dokaži da za opseg $O$ šesterokuta $AB'CA'BC'$ vrijedi $$ O \geqslant 2 \left(\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ca}\right) \text{.} $$

%V0 U trokutu $ABC$ vrijedi $\left\vert AB \right\vert = \left\vert AC \right\vert$. Na stranici $\overline{AC}$ nalazi se točka $D$ takva da je $\left\vert AD \right\vert < \left\vert CD \right\vert$, a na dužini $\overline{BD}$ točka $P$ takva da je $\angle{APC}$ pravi kut. Ako je $\angle{ABP} = \angle{BCP}$, odredi $\left\vert AD \right\vert : \left\vert CD \right\vert$.