Županijsko natjecanje 2013 SŠ3 1
Dodao/la:
arhiva12. srpnja 2013. Dane su tri kolinearne točke
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
,
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
i
![M](/media/m/f/7/f/f7f312cf6ba459a332de8db3b8f906c4.png)
, takve da je
![M](/media/m/f/7/f/f7f312cf6ba459a332de8db3b8f906c4.png)
između
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
i
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
, te kružnica
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
čiji je promjer
![\overline{AB}](/media/m/a/1/a/a1a42310b1a849922197735f632d57ec.png)
. Neka je
![N](/media/m/f/1/9/f19700f291b1f2255b011c11d686a4cd.png)
bilo koja točka na kružnici
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
, različita od
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
i
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
. Dokaži da je vrijednost izraza
![\displaystyle \frac{\tg{\left(\angle ANM\right)}}{\tg{\left(\angle MAN\right)}}](/media/m/d/e/d/ded4b5d90a18a4dcdae0f5a199a271b4.png)
konstantna, tj. da ne ovisi o odabiru točke
![N](/media/m/f/1/9/f19700f291b1f2255b011c11d686a4cd.png)
.
%V0
Dane su tri kolinearne točke $A$, $B$ i $M$, takve da je $M$ između $A$ i $B$, te kružnica $k$ čiji je promjer $\overline{AB}$. Neka je $N$ bilo koja točka na kružnici $k$, različita od $A$ i $B$. Dokaži da je vrijednost izraza $$\displaystyle \frac{\tg{\left(\angle ANM\right)}}{\tg{\left(\angle MAN\right)}}$$ konstantna, tj. da ne ovisi o odabiru točke $N$.
Izvor: Županijsko natjecanje iz matematike 2013