Školjka

%V0 Ako je jedan član beskonačnog aritmetičkog niza u skupu prirodnih brojeva potpuni kvadrat, dokažite da takvih članova ima beskonačno mnogo.

%V0 Neka je $n$ prirodan broj koji se može prikazivati kao suma kvadrata dvaju prirodnih brojeva na dva različita načina: $$n=a^2+b^2=c^2+d^2, \,\,\, a \neq c, \,\, b \neq d.$$ Dokažite da je $n$ složen broj.

%V0 Dan je broj $n = p_1 p_2 p_3 p_4$, gdje su $p_1$, $p_2$, $p_3$ i $p_4$ četiri različita prosta broja. Njegovi pozitivni cjelobrojni djelitelji su $$d_1 = 1 < d_2 < d_3 < \ldots < d_{15} < d_{16} = n.$$ Postoji li $n < 2001$, takav da je $d_9 - d_8 = 22$?

%V0 a) Neka je $k$ prirodni broj. Dokaži da aritmetički niz čija je razlika prirodni broj ili ne sadrži niti jednu $k$-tu potenciju prirodnog broja ili ih sadrži beskonačno mnogo. b) Postoji li aritmetički niz čija je razlika prirodni broj koji sadrži beskonačno mnogo kubova prirodnih brojeva, ali ne sadrži niti jedan kvadrat prirodnog broja?

%V0 Za dani prirodni broj $n$ neka je $M\!\left(n\right)$ najveći prirodni broj za koji je moguće konstruirati niz prirodnih brojeva $x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_{M\!\left(n\right)} \in \left\{ 2,\,3,\,\ldots,\,n\right\}$ tako da vrijedi: [i]Za svaka dva različita broja[/i] $i,\,j \in \left\{1,\,2,\,\ldots,\,M\!\left(n\right) \right\}$ [i]brojevi[/i] $2^{x_i}-1$ i $2^{x_j}-1$ [i]su relativno prosti.[/i] Ako je $M\!\left(k\right) = M\!\left(k-1\right)$ za neki prirodni broj $k>1$, dokaži da je $k$ složen.

%V0 Dan je aritmetički niz $1995, 1999, \ldots .$ Dokažite da taj niz sadrži beskonačno mnogo prostih brojeva.