Slični zadaci

Državno natjecanje 1997 SŠ4 3

Dana je funkcija $f$ definirana na pozitivnim cijelim brojevima, koja ima ova svojstva $f(1)=1,\,\,\,\, f(2)=2\text{.}$
$f(n+2)=f(n+2-f(n+1))+f(n+1-f(n)), \,\,\,\, (n \geq 1)\text{.}$
$(a)$ Pokažite da je $f(n+1)-f(n) \in \{0,\,1\}$ za svaki $n \geq 1$ .
$(b)$ Ako je $f(n)$ neparan, pokažite da je $f(n+1)=f(n)+1$ .
$(c)$ Za dani broj $k$ odredite sve vrijednosti $n$ za koje je $f(n)=2^{k-1}+1\text{.}$

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Državno natjecanje 1995 SŠ4 2

Neka je $n$ prirodan broj koji se može prikazivati kao suma kvadrata dvaju prirodnih brojeva na dva različita načina:
$n=a^2+b^2=c^2+d^2, \,\,\, a \neq c, \,\, b \neq d.$
Dokažite da je $n$ složen broj.

Državno natjecanje 1997 SŠ4 1

Nađite posljednje četiri znamenke broja $3^{1000}$ i broja $3^{1997}$ .

Državno natjecanje 2001 SŠ4 3

Dan je broj $n = p_1 p_2 p_3 p_4$ , gdje su $p_1$ , $p_2$ , $p_3$ i $p_4$ četiri različita prosta broja. Njegovi pozitivni cjelobrojni djelitelji su

$d_1 = 1 < d_2 < d_3 < \ldots < d_{15} < d_{16} = n.$
Postoji li $n < 2001$ , takav da je $d_9 - d_8 = 22$ ?

Državno natjecanje 2002 SŠ4 3

Neka je $f(x) = x^{2002} - x^{2001} + 1$ . Dokazati da su za svaki prirodan broj $m$ brojevi $m$ , $f(m)$ , $f(f(m))$ , $f(f(f(m)))$ , ..., u parovima relativno prosti, tj. da nikoja dva među njima nemaju zajednički djelitelj veći od $1$ .

Državno natjecanje 2008 SŠ4 2

Odredi formulu za zbroj $\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor \text{,}$ gdje je $\lfloor r \rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$ .

Državno natjecanje 2010 SŠ4 2

Odredi sve funkcije $f \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ za koje vrijede sljedeća dva uvjeta:

i) $f\!\left(n\right) f\!\left(-n\right) = f\!\left(n^2\right)$ za sve $n \in \mathbb{Z}$

ii) $f\!\left(m+n\right) = f\!\left(m\right) + f\!\left(n\right) + 2mn$ za sve $m,\,n \in \mathbb{Z}$ .