Slični zadaci

Državno natjecanje 2000 SŠ4 1

Dana je točka $T_0$ na paraboli $\mathcal{P}$ s jednadžbom $y^2 = 2px$ i točka $T_0^\prime$ takva da je polovište dužine $\overline{T_0 T_0^\prime}$ na osi parabole $\mathcal{P}$ . Za varijabilnu točku $T$ na $\mathcal{P}$ , različitu od $T_0$ i njoj simetrične točke s obzirom na os parabole, okomica iz točke $T_0^\prime$ na pravac $T_0 T$ siječe paralelu s osi parabole kroz točku $T$ u točki $T^\prime$ . Što opisuje točka $T^\prime$ ?

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Državno natjecanje 2008 SŠ4 3

Nad stranicama $\overline{AB}, \overline{BC}$ trokuta $ABC$ konstruirani su kvadrati $ABKL, BCMN$ (koji s trokutom imaju samo zajednicku stranicu).
a) Ako je $D$ tocka takva da je $ABCD$ paralelogram, dokazi da su trokuti $ABD$ i $BKN$ sukladni.
b) Dokazi da su polovista duzina $\overline{AC}, \overline{KN}$ i sredista kvadrata $ABKL, BCMN$ vrhovi kvadrata.

Državno natjecanje 2005 SŠ4 4

neka je $ABCD$ konveksni cetverokut i neka su $P$ i $Q$ redom tocke na njegovim stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ takve da je $\angle BAP = \angle DAQ$ . dokazite da trokuti $ABP$ i $ADQ$ imaju jednake povrsine ako i samo ako je spojnica njihovih ortocentara okomita na pravac $AC$ .

Državno natjecanje 2004 SŠ4 2

unutar troukta $ABC$ s duljinama stranica $a, b, c$ i odgovarajucim kutevima $\alpha, \beta, \gamma$ postoje tocke $P$ i $Q$ takve da vrijedi
$\angle BPC = \angle CPA = \angle APB = 120^\circ$ ,
$\angle BQC = 60^\circ + \alpha, \angle CQA = 60^\circ + \beta, \angle AQB = 60^\circ + \gamma$ .
dokazite da vrijedi jednakost
$(|AP| + |BP| + |CP|)^3\cdot|AQ|\cdot|BQ|\cdot|CQ| = (abc)^2$

Državno natjecanje 2003 SŠ4 1

neka je $I$ tocka na simetrali kuta $\angle BAC$ trokuta $ABC$ , a $M$ i $N$ redom tocke na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ , takve da je $\angle ABI = \angle NIC$ i $\angle ACI = \angle MIB$ . dokazite da je $I$ srediste upisane kruznice trokuta $ABC$ ako i samo ako su tocke $M$ , $N$ i $I$ kolinearne.

Državno natjecanje 2000 SŠ4 2

Krakovi jednakokračnog trokuta $ABC$ diraju kružnicu čije se središte nalazi na osnovici $\overline{BC}$ tog trokuta. Točke $P$ i $Q$ nalaze se na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom. Dokažite da je

$|PB| \cdot |CQ| = (\frac{1}{2} |BC|)^2$
ako i samo ako je $PQ$ tangenta promatrane kružnice.

Državno natjecanje 1998 SŠ4 1

Dokažite da sve tetive parabole $y^2=4ax$ , koje su hipotenuze pravokutnog trokuta s pravim kutom u ishodištu, prolaze istom točkom.