Školjka

%V0 Neka je $n$ prirodan broj koji se može prikazivati kao suma kvadrata dvaju prirodnih brojeva na dva različita načina: $$n=a^2+b^2=c^2+d^2, \,\,\, a \neq c, \,\, b \neq d.$$ Dokažite da je $n$ složen broj.

%V0 Dana je funkcija $f$ definirana na pozitivnim cijelim brojevima, koja ima ova svojstva $$f(1)=1,\,\,\,\, f(2)=2\text{.}$$ $$f(n+2)=f(n+2-f(n+1))+f(n+1-f(n)), \,\,\,\, (n \geq 1)\text{.}$$ $(a)$ Pokažite da je $f(n+1)-f(n) \in \{0,\,1\}$ za svaki $n \geq 1$. $(b)$ Ako je $f(n)$ neparan, pokažite da je $f(n+1)=f(n)+1$. $(c)$ Za dani broj $k$ odredite sve vrijednosti $n$ za koje je $$f(n)=2^{k-1}+1\text{.}$$

%V0 Dan je broj $n = p_1 p_2 p_3 p_4$, gdje su $p_1$, $p_2$, $p_3$ i $p_4$ četiri različita prosta broja. Njegovi pozitivni cjelobrojni djelitelji su $$d_1 = 1 < d_2 < d_3 < \ldots < d_{15} < d_{16} = n.$$ Postoji li $n < 2001$, takav da je $d_9 - d_8 = 22$?

%V0 Zadana je tablica $5 \times n$ kojoj je svako polje obojano u crvenu ili plavu boju. Nađite najmanji $n$ za koji se uvijek mogu odabrati tri retka i tri stupca takva da je svih $9$ polja u njihovom presjeku iste boje.

%V0 Šiljastokutni trokut $ABC$ kome su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ polovišta stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ upisan je u kružnicu sa središtem u točki $O$ polumjera $1$. Dokažite da je $$\frac{1}{|OA_1|}+\frac{1}{|OB_1|}+\frac{1}{|OC_1|} \geq 6$$

%V0 Odredi formulu za zbroj $$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor \text{,} $$ gdje je $\lfloor r \rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$.