Školjka

%V0 Neka je $n$ prirodan broj koji se može prikazivati kao suma kvadrata dvaju prirodnih brojeva na dva različita načina: $$n=a^2+b^2=c^2+d^2, \,\,\, a \neq c, \,\, b \neq d.$$ Dokažite da je $n$ složen broj.

%V0 Neka su $\alpha$ i $\beta$ pozitivni iracionalni brojevi takvi da je $\frac1\alpha + \frac1\beta = 1$, te $A=\{\lfloor n\alpha \rfloor | n \in \mathbb{N}\}$ i $B=\{\lfloor n\beta \rfloor | n \in \mathbb{N}\}$. Dokažite da je tada $A \cup B = \mathbb{N}$ i $A \cap B = \emptyset$. Naputak: Možete dokazati ekvivalentnu tvrdnju: Za funkciju $\pi : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ definiranu sa $$\pi(m)=\mathrm{Card} \{k | k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in A\} + \mathrm{Card} \{k | k \in \mathbb{N}, k \leq m, k \in B\}$$ vrijedi $\pi(m)=n, \,\, \forall m \in \mathbb{N}$. ( $\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

%V0 Dan je broj $n = p_1 p_2 p_3 p_4$, gdje su $p_1$, $p_2$, $p_3$ i $p_4$ četiri različita prosta broja. Njegovi pozitivni cjelobrojni djelitelji su $$d_1 = 1 < d_2 < d_3 < \ldots < d_{15} < d_{16} = n.$$ Postoji li $n < 2001$, takav da je $d_9 - d_8 = 22$?

%V0 Šiljastokutni trokut $ABC$ kome su $A_1$, $B_1$ i $C_1$ polovišta stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$ i $\overline{AB}$ upisan je u kružnicu sa središtem u točki $O$ polumjera $1$. Dokažite da je $$\frac{1}{|OA_1|}+\frac{1}{|OB_1|}+\frac{1}{|OC_1|} \geq 6$$

%V0 Odredi formulu za zbroj $$\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor \text{,} $$ gdje je $\lfloor r \rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$.

%V0 Odredi sve parove prirodnih brojeva $\left(m,\,n\right)$, $m,\,n > 1$, za koje je $n^{3} - 1$ djeljivo s $mn - 1$.