Školjka

%V0 Kružnice $k_1$ i $k_2$ s polumjerima $r_1$ i $r_2$ ($r_1<r_2$) dodiruju se iznutra u točki $P$. Neka je $q$ jedna tangenta na $k_1$, koja ju dodiruje u točki $R$, i paralelna je zajedničkom promjeru danih kružnica. Neka su $M$ i $N$ sjecišta tangente $q$ s $k_2$. Dokažite da je $PR$ simetrala kuta $\angle MPN$.

%V0 Duljine stranica trokuta su $a=b-\dfrac{r}{4}$, $b$, $c=b+\dfrac{r}{4}$, gdje je $r$ polumjer tom trokutu upisane kružnice. Izrazite duljine stranica trokuta u ovisnosti od $r$.

%V0 Na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AD}$ paralelograma $ABCD$ odabrane su redom točke $E$ i $F$ takve da je $EF\parallel BD$. Dokažite da trokuti $BCE$ i $CDF$ imaju jednake površine.

%V0 Dan je trokut $ABC$. Neka su $L$ i $M$ redom točke u kojima simetrale unutarnjeg i vanjskog kuta s vrhom $C$ sijeku pravac $AB$. Ako je $|CL|=|CM|$, dokaži da vrijedi $$ |AC|^2+|BC|^2=4R^2, $$ gdje je $R$ duljina polumjera kružnice opisane trokutu $ABC$.

%V0 Težišnica i visina iz vrha $A$ trokuta $ABC$ dijele kut kod vrha $A$ na tri jednaka dijela. Koliki su kutovi trokuta $ABC$?

%V0 Na slici je pravilni peterokut s dijagonalama. Dokaži da su istaknute dužine sukladne. [img attachment=2 width=100px]