Školjka

%V0 Pokažite da za svaka dva pozitivna broja $p$ i $q$ vrijedi nejednakost $$\left(p^2+p+1\right)\left(q^2+q+1\right) \geqslant 9pq \text{.}$$

%V0 Brojevi $a$, $b$, $c$, $d$ zadovoljavaju relaciju $a+b+c+d=0$. Neka je $S_1=ab+bc+cd$ i $S_2=ac+ad+bd$. Pokažite da je $$5S_1+8S_2 \leqslant 0 \qquad \text{i} \qquad 8S_1+5S_2 \leqslant 0 \text{.}$$

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni relani brojevi takvi da je $a + b + c = 1$. Dokažite da vrijedi nejednakost $$\dfrac{a^3}{a^2 + b^2} + \dfrac{b^3}{b^2 + c^2} + \dfrac{c^3}{c^2 + a^2} \geq \dfrac{1}{2}\text{.}$$

%V0 Produkt pozitivnih realnih brojeva $x$, $y$ i $z$ jednak je $1$. Ako je $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geqslant x + y + z \text{,}$$ dokažite da je $$\frac{1}{x^k} + \frac{1}{y^k} + \frac{1}{z^k} \geqslant x^k + y^k + z^k \text{,}$$ za svaki prirodan broj $k$.

%V0 Dokažite da za svaka tri realna broja $x$, $y$, $z$ vrijedi nejednakost $$\left\vert x \right\vert + \left\vert y \right\vert + \left\vert z \right\vert - \left\vert x+y \right\vert - \left\vert y+z \right\vert - \left\vert z+x \right\vert + \left\vert x+y+z \right\vert \geqslant 0 \text{.}$$

%V0 Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{2}$. Dokaži nejednakost $$ \frac{1 - a^2 + c^2}{c\left(a + 2 b\right)} + \frac{1 - b^2 + a^2}{a \left(b + 2 c\right)} + \frac{1 - c^2 + b^2}{b \left(c + 2 a\right)} \geqslant 6 \text{.} $$