Županijsko natjecanje 2006 SŠ1 4
Dodao/la:
arhiva1. travnja 2012. Dan je trokut
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
. Neka su
![L](/media/m/f/c/1/fc1ae4eb78da7d1352cbf1f8217ab286.png)
i
![M](/media/m/f/7/f/f7f312cf6ba459a332de8db3b8f906c4.png)
redom točke u kojima simetrale unutarnjeg i vanjskog kuta s vrhom
![C](/media/m/5/a/b/5ab88f3f735b691e133767fe7ea0483c.png)
sijeku pravac
![AB](/media/m/5/2/9/5298bd9e7bc202ac21c423e51da3758e.png)
. Ako je
![|CL|=|CM|](/media/m/e/3/a/e3a0eeb9ab36b4b3e74679415edf3335.png)
, dokaži da vrijedi
![|AC|^2+|BC|^2=4R^2,](/media/m/d/c/5/dc5913acf87e4ebbf7d2fc16da0a6c5e.png)
gdje je
![R](/media/m/4/d/7/4d76ce566584cfe8ff88e5f3e8b8e823.png)
duljina polumjera kružnice opisane trokutu
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
.
%V0
Dan je trokut $ABC$. Neka su $L$ i $M$ redom točke u kojima simetrale unutarnjeg i vanjskog kuta s vrhom $C$ sijeku pravac $AB$. Ako je $|CL|=|CM|$, dokaži da vrijedi $$
|AC|^2+|BC|^2=4R^2,
$$ gdje je $R$ duljina polumjera kružnice opisane trokutu $ABC$.
Izvor: Županijsko natjecanje iz matematike 2006