Školjka

%V0 U šiljastokutnom trokutu $ABC$ ortocentar raspolavlja visinu povučenu iz vrha $A,$ dok visinu povučenu iz vrha $B$ dijeli u omjeru $2:1$, tako da je ortocentar bliži nožištu visine nego vrhu. U kojem omjeru ortocentar dijeli visinu iz vrha $C$?

%V0 Visina $\overline{CD}$ na hipotenuzu $\overline{AB}$ pravokutnog trokuta $ABC$ je promjer kružnice $k$ koja siječe katete $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$ tog trokuta redom u točkama $E$ i $F$. Ako je $G$ sjecište pravaca $CD$ i $EF$ i ako vrijedi $$ |CG|^2=|CE|\cdot|CF|, $$ koliki su šiljasti kutovi trokuta $ABC$?

%V0 Duljine stranica trokuta su $a=b-\dfrac{r}{4}$, $b$, $c=b+\dfrac{r}{4}$, gdje je $r$ polumjer tom trokutu upisane kružnice. Izrazite duljine stranica trokuta u ovisnosti od $r$.

%V0 Dan je trokut $ABC$. Neka su $L$ i $M$ redom točke u kojima simetrale unutarnjeg i vanjskog kuta s vrhom $C$ sijeku pravac $AB$. Ako je $|CL|=|CM|$, dokaži da vrijedi $$ |AC|^2+|BC|^2=4R^2, $$ gdje je $R$ duljina polumjera kružnice opisane trokutu $ABC$.

%V0 Hipotenuza $\overline{AB}$ pravokutnog trokuta $ABC$ ima duljinu $6$. Kvadrat je upisan u taj trokut tako da mu dva vrha leže na hipotenuzi, a druga dva vrha na katetama. $a)$ Dokaži da površina kvadrata nije veća od $4$. $b)$ Za kakav trokut je ta površina jednaka $4$?

%V0 U nekom trokutu jedna je srednjica dulja od jedne težišnice. Dokaži da je taj trokut tupokutan.