Školjka

%V0 Pet kružnica upisano je u pravokutnik kako je prikazano na slici: [img attachment=2 width=213px] Duljina manje stranice pravokutnika jednaka je $1$. Kolika je duljina veće stranice?

%V0 Težišnica i visina iz vrha $A$ trokuta $ABC$ dijele kut kod vrha $A$ na tri jednaka dijela. Koliki su kutovi trokuta $ABC$?

%V0 Na gornjem dijelu kružnice sa središtem $O$ nalaze se točke $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, tako da je $\angle AOB=60^\circ $, $\angle AOC=90^\circ $, $\angle AOD=120^\circ $, $\angle AOE=180^\circ $. Ako je $P$ točka koja dijeli polumjer $\overline{OA}$ u omjeru zlatnog reza, tj. $|OP|:|PA|=|PA|:|OA|$, odredite međusobne omjere kvadrata udaljenosti $|PA|^2$, $|PB|^2$, $|PC|^2$, $|PD|^2$, $|PE|^2$.

%V0 Kružnice $k_1$ i $k_2$ s polumjerima $r_1$ i $r_2$ ($r_1<r_2$) dodiruju se iznutra u točki $P$. Neka je $q$ jedna tangenta na $k_1$, koja ju dodiruje u točki $R$, i paralelna je zajedničkom promjeru danih kružnica. Neka su $M$ i $N$ sjecišta tangente $q$ s $k_2$. Dokažite da je $PR$ simetrala kuta $\angle MPN$.

%V0 Visina $\overline{CD}$ na hipotenuzu $\overline{AB}$ pravokutnog trokuta $ABC$ je promjer kružnice $k$ koja siječe katete $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$ tog trokuta redom u točkama $E$ i $F$. Ako je $G$ sjecište pravaca $CD$ i $EF$ i ako vrijedi $$ |CG|^2=|CE|\cdot|CF|, $$ koliki su šiljasti kutovi trokuta $ABC$?

%V0 U ravnini su dane dvije kružnice $k_1$ i $k_2$ na koje su povučene dvije unutarnje zajedničke tangente $u$, $u'$ i dvije vanjske $v$, $v'$. Dokažite da sjecišta tangenata $u \cap v$, $u \cap v'$, $u' \cap v$, $u' \cap v'$ leže na jednoj kružnici.