Školjka

%V0 Učenik je iz jednadžbe $(x+3)(2-x)=4$ zaključio da je ili $x+3=4$ ili $2-x=4,$ tj. da je $x=1$ ili $x=-2.$ Iako je zaključivanje pogrešno, rješenje je ispravno. Odredite $r\,\,(r \neq 0),$ tako da se za dane brojeve $p$ i $q$ istim zaključivanjem iz jednadžbe $(x+p)(q-x)=r$ dobije ispravno rješenje.

%V0 Nađite sve kompleksne brojeve $z$ za koje vrijedi $$ \left|\dfrac{1}{z-i}+1\right|=1\;\;\;\text{i}\;\;\; \left|\dfrac{1}{z-i}-i\right|=1. $$

%V0 Odredite i skicirajte skup točaka u kompleksnoj ravnini koji je određen uvjetom $$ \left|\frac{1}{z}-i\right|\leq 1. $$

%V0 Ako su $a$ i $b$ kompleksni brojevi takvi da je $|a|=|b|=1$, $a\neq b$ i $z$ kompleksan broj, dokažite da je broj $$ \dfrac{1}{a-b}(z+ab\overline{z}-a-b) $$ imaginaran.

%V0 Odredi najmanju i najveću vrijednost izraza $\left| z-\dfrac1z \right|$, ako je $z$ kompleksni broj takav da je $|z|=2$.

%V0 Neka su $z_1$ i $z_2$ kompleksni brojevi takvi da vrijedi $|z_1+2z_2| = | 2z_1 + z_2|$. Dokaži da je $|z_1+\alpha z_2|=|\alpha z_1+z_2|$ za svaki realni broj $\alpha$.