Školjka

%V0 Neka su $z_1$, $z_2$ i $z_3$ kompleksni brojevi takvi da je $|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ i $z_1+z_2+z_3=0$. Dokažite da izraz $$ |z_1+z_2|^2+|z_2+z_3|^2+|z_3+z_1|^2 $$ poprima jednu te istu vrijednost za svaki izbor kompleksnih brojeva koji zadovoljavaju gornje uvjete.

%V0 Nađite skup kompleksnih brojeva $z$ za koje je $$ \text{Im}(z^4)=\left(\text{Re}(z^2)\right)^2 $$ i skicirajte ga u kompleksnoj ravnini.

%V0 Nađite sve kompleksne brojeve $z$ za koje vrijedi $$ \left|\dfrac{1}{z-i}+1\right|=1\;\;\;\text{i}\;\;\; \left|\dfrac{1}{z-i}-i\right|=1. $$

%V0 Odredite i skicirajte skup točaka u kompleksnoj ravnini koji je određen uvjetom $$ \left|\frac{1}{z}-i\right|\leq 1. $$

%V0 Ako su $a$ i $b$ kompleksni brojevi takvi da je $|a|=|b|=1$, $a\neq b$ i $z$ kompleksan broj, dokažite da je broj $$ \dfrac{1}{a-b}(z+ab\overline{z}-a-b) $$ imaginaran.

%V0 Neka su $z_1$ i $z_2$ kompleksni brojevi takvi da vrijedi $|z_1+2z_2| = | 2z_1 + z_2|$. Dokaži da je $|z_1+\alpha z_2|=|\alpha z_1+z_2|$ za svaki realni broj $\alpha$.