Slični zadaci

Županijsko natjecanje 2000 SŠ2 3

U šiljastokutnom trokutu $ABC$ povučene su visine $\overline{BB}$ i $\overline{CC}$ . Kroz ortocentar $H$ je povučen pravac koji siječe stranice trokuta $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom u točkama $M$ i $N$ . Neka je $M$ nožište okomice iz $M$ na $\overline{BB}$ i $N$ nožište okomice iz $N$ na $\overline{CC}$ . Dokažite da je $MC\parallel NB$ .

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Županijsko natjecanje 1997 SŠ2 2

Konveksni četverokuti $ABCD$ i $AECF$ upisani su u istu kružnicu. Izrazite omjer njihovih površina pomoću duljina njihovih stranica.

Županijsko natjecanje 2001 SŠ2 3

$a)$ Trokutu $ABC$ upisana je kružnica koja redom dodiruje stranice $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ u točkama $D$ , $E$ , $F$ . Dokažite da se pravci $\;AD,\;BE,\;CF\;$ sijeku u istoj točki $P$ .

$b)$ Dokažite da nijedan od kutova $\angle APB$ , $\angle BPC$ , $\angle CPA$ nije pravi.

Županijsko natjecanje 2005 SŠ2 1

Trokutu $ABC$ upisana je kružnica polumjera $r$ sa središtem u točki $S$ . Pravac kroz točku $S$ siječe stranice $\overline{BC}$ i $\overline{CA}$ redom u točkama $D$ i $E$ . Dokažite da za površinu $P$ trokuta $CED$ vrijedi $P\geq 2r^2$ . Kada vrijedi jednakost?

Županijsko natjecanje 2006 SŠ2 3

Dvije kružnice jednakog polumjera $\varrho$ upisane su u trokut $ABC$ tako da se međusobno dodiruju, te jedna od njih dodiruje stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ , a druga stranice $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ . Dokaži da vrijedi $\dfrac{2}{|AB|}=\dfrac{1}{\varrho }-\dfrac{1}{r},$ gdje je $r$ polumjer upisane kružnice trokuta $ABC$ .

Županijsko natjecanje 2009 SŠ2 3

Ako je zbroj duljina dviju stranica raznostraničnog trokuta jednak dvostrukoj duljini treće stranice, dokaži da je pravac kroz središte upisane kružnice i težište trokuta paralelan sa stranicom koja je srednja po duljini.

Županijsko natjecanje 2010 SŠ2 4

Točka $S$ je središte trokutu $ABC$ upisane kružnice, a simetrala kuta $\angle BAC$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$ . Dokaži da je $|AS|:|SD|=2:1$ ako i samo ako vrijedi $|CA|+|AB|=2|BC|$ .