Školjka

%V0 Tetiva $\overline{AB}$ paralelna je s promjerom $\overline{MN}$ kružnice. Neka je $t$ tangenta te kružnice u točki $M$ te neka su točke $C$ i $D$ redom sjecišta pravaca $NA$ i $NB$ s pravcem $t$. Dokaži da vrijedi $$ |MC|\cdot|MD|= |MN|^{2}. $$

%V0 Ako je zbroj duljina dviju stranica raznostraničnog trokuta jednak dvostrukoj duljini treće stranice, dokaži da je pravac kroz središte upisane kružnice i težište trokuta paralelan sa stranicom koja je srednja po duljini.

%V0 Deset kružnica polumjera $r=1$ postavljeno je unutar kružnice polumjera $R$ kao na slici. Koliki je $R$? [img attachment=2 width=150px]

%V0 Oko kružnice polumjera $1$ položeno je šest kružnica polumjera $r$, tako da svaka dodiruje izvana središnju kružnicu (polumjera $1$) i dvije susjedne kružnice polumjera $r$. Oko ovih kružnica položeno je još šest većih kružnica polumjera $R$, od kojih svaka dodiruje izvana dvije kružnice polumjera $r$ i dvije veće kružnice (polumjera $R$). Izračunajte polumjere $r$ i $R$.

%V0 U šiljastokutnom trokutu $ABC$ povučene su visine $\overline{BB}$ i $\overline{CC}$. Kroz ortocentar $H$ je povučen pravac koji siječe stranice trokuta $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom u točkama $M$ i $N$. Neka je $M$ nožište okomice iz $M$ na $\overline{BB}$ i $N$ nožište okomice iz $N$ na $\overline{CC}$. Dokažite da je $MC\parallel NB$.

%V0 U polja kvadrata $3 \times 3$ treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude $270$. Na koliko je načina to moguće napraviti?