Školjka

%V0 Pet kružnica upisano je u pravokutnik kako je prikazano na slici: [img attachment=2 width=213px] Duljina manje stranice pravokutnika jednaka je $1$. Kolika je duljina veće stranice?

%V0 Tangente povučene iz točke $T$ na kružnicu diraju je u točkama $A$ i $B$. Neka je $C$ na kružnici, različita od $B$, takva da je $|AB|=|AC|$. Dokažite da je $\angle TCB \le 30^{\circ }.$

%V0 Oko kružnice polumjera $1$ položeno je šest kružnica polumjera $r$, tako da svaka dodiruje izvana središnju kružnicu (polumjera $1$) i dvije susjedne kružnice polumjera $r$. Oko ovih kružnica položeno je još šest većih kružnica polumjera $R$, od kojih svaka dodiruje izvana dvije kružnice polumjera $r$ i dvije veće kružnice (polumjera $R$). Izračunajte polumjere $r$ i $R$.

%V0 Deset kružnica polumjera $r=1$ postavljeno je unutar kružnice polumjera $R$ kao na slici. Koliki je $R$? [img attachment=2 width=150px]

%V0 Na promjeru $\overline{AB}$ polukružnice sa središtem $O$ odabrana je točka $C$, različita od $A$, $B$ i $O$. Iz točke $C$ povučena su dva polupravca pod jednakim kutovima na $AB$ koji sijeku polukružnicu u točkama $D$ i $E$ ($\neq A,\;B$). U točki $D$ povučena je okomica na polupravac $CD$ koji siječe polukružnicu u točki $K$. Dokažite da su, ako je $D\neq E$, pravci $KE$ i $AB$ paralelni.

%V0 Tetiva $\overline{AB}$ dijeli krug polumjera $r$ na dva dijela čije se pripadne duljine kružnih lukova odnose kao $1:2$. U veći od ta dva dijela upisan je kvadrat čija jedna stranica leži na toj tetivi. Odredi duljinu stranice tog kvadrata.