Županijsko natjecanje 2012 SŠ2 4
Dodao/la:
arhiva1. travnja 2012. Neka je
![P](/media/m/9/6/8/968d210d037e7e95372de185e8fb8759.png)
točka u unutrašnjosti trokuta
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
. Neka su
![D](/media/m/7/0/0/7006c4b57335ab717f8f20960577a9ef.png)
,
![E](/media/m/8/b/0/8b01e755d2253cb9a52f9e451d89ec11.png)
i
![F](/media/m/3/e/8/3e8bad5df716d332365fca76f53c1743.png)
nožišta okomica iz točke
![P](/media/m/9/6/8/968d210d037e7e95372de185e8fb8759.png)
na pravce
![BC](/media/m/5/0/0/5005d4d5eac1b420fbabb76c83fc63ad.png)
,
![CA](/media/m/a/a/e/aaec86bc003cfdb64d54116a4cabd387.png)
i
![AB](/media/m/5/2/9/5298bd9e7bc202ac21c423e51da3758e.png)
redom. Ako su četverokuti
![AEPF](/media/m/9/d/8/9d8a636717a4d7829bf6201fb61e53a5.png)
,
![BFPD](/media/m/5/d/7/5d73afe2007db9deb5051e0952392a9b.png)
i
![CDPE](/media/m/d/3/2/d3257d7d24db3f227fb18b1b1432eff1.png)
tangencijalni, dokaži da je
![P](/media/m/9/6/8/968d210d037e7e95372de185e8fb8759.png)
središte trokutu
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
upisane kružnice.
%V0
Neka je $P$ točka u unutrašnjosti trokuta $ABC$. Neka su $D$, $E$ i $F$ nožišta okomica iz točke $P$ na pravce $BC$, $CA$ i $AB$ redom. Ako su četverokuti $AEPF$, $BFPD$ i $CDPE$ tangencijalni, dokaži da je $P$ središte trokutu $ABC$ upisane kružnice.
Izvor: Županijsko natjecanje iz matematike 2012