Županijsko natjecanje 2005 SŠ3 4
Dodao/la:
arhiva1. travnja 2012. Trokut
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
je šiljastokutan. Za bilo koju točku
![T](/media/m/0/1/6/016d42c58f7f5f06bdf8af6b85141914.png)
iz unutrašnjosti ili s ruba trokuta
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
, točke
![T_a](/media/m/3/8/6/3869fc5942790696648378d385914c1c.png)
,
![T_b](/media/m/4/1/b/41ba743f6c7f0adabacdc94a4669729e.png)
,
![T_c](/media/m/4/6/a/46abb3fa17b99fa347e78c9e82e751d8.png)
su redom nožišta okomica iz
![T](/media/m/0/1/6/016d42c58f7f5f06bdf8af6b85141914.png)
na stranice
![\overline{BC}](/media/m/8/8/1/8818caad7d36e134c54122cbf46f1cd9.png)
,
![\overline{CA}](/media/m/c/e/9/ce9fb8497710464615e1d00d148c5663.png)
,
![\overline{AB}](/media/m/a/1/a/a1a42310b1a849922197735f632d57ec.png)
. Ako je
![f(T)=\dfrac{|AT_c|+|BT_a|+|CT_b|}{|TT_a|+|TT_b|+|TT_c|},](/media/m/3/f/1/3f1310574e1eefe8f5bff1329fd7dd1c.png)
dokažite da
![f(T)](/media/m/8/a/2/8a26094e68a11b95a07e5671838cfe85.png)
ne ovisi o izboru točke
![T](/media/m/0/1/6/016d42c58f7f5f06bdf8af6b85141914.png)
ako i samo ako je trokut
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
jednakostraničan.
%V0
Trokut $ABC$ je šiljastokutan. Za bilo koju točku $T$ iz unutrašnjosti ili s ruba trokuta $ABC$, točke $T_a$, $T_b$, $T_c$ su redom nožišta okomica iz $T$ na stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$. Ako je $$
f(T)=\dfrac{|AT_c|+|BT_a|+|CT_b|}{|TT_a|+|TT_b|+|TT_c|},
$$ dokažite da $f(T)$ ne ovisi o izboru točke $T$ ako i samo ako je trokut $ABC$ jednakostraničan.
Izvor: Županijsko natjecanje iz matematike 2005