Slični zadaci

Državno natjecanje 1995 SŠ1 2

Dokažite identitet $\frac{a_1}{a_2\left(a_1+a_2\right)} + \frac{a_2}{a_3\left(a_2+a_3\right)} + \cdots + \frac{a_n}{a_1\left(a_n+a_1\right)} = \frac{a_2}{a_1\left(a_1+a_2\right)} + \frac{a_3}{a_2\left(a_2+a_3\right)} + \cdots + \frac{a_1}{a_n\left(a_n+a_1\right)} \text{.}$

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Državno natjecanje 1995 SŠ1 3

Nađite sva realna rješenja jednadžbe $\sqrt{2x-2\sqrt{2x-1}} - 2\sqrt{2x+3-4\sqrt{2x-1}} + 3\sqrt{2x+8-6\sqrt{2x-1}} = 4 \text{.}$

Državno natjecanje 1997 SŠ1 2

Zadani su realni brojevi $a<b<c<d$ . Odredite sve mogućnosti izbora brojeva $p$ , $q$ , $r$ , $s$ za koje je $\{a,\,b,\,c,\,d\}=\{p,\,q,\,r,\,s\}$ , a vrijednost izraza $(p-q)^2+(q-r)^2+(r-s)^2+(s-p)^2$ je najmanja.

Državno natjecanje 2006 SŠ1 2

Neka su $a$ , $b$ , $c$ realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi $a+\frac1b=b+\frac1c=c+\frac1a \text{.}$ Dokaži da je $\displaystyle a+\frac1b=-abc$ .

Državno natjecanje 2008 SŠ1 1

Neka su $a$ , $b$ , $c$ proizvoljni realni brojevi. Dokaži da je barem jedan od brojeva $\left(a+b+c\right)^2 - 9ab \text{,} \quad \left(a+b+c\right)^2 - 9bc \text{,} \quad \left(a+b+c\right)^2 - 9ca$ nenegativan.

Državno natjecanje 2008 SŠ1 4

Nađi sva realna rješenja jednadžbe $\left(16x^{200} + 1\right)\left(y^{200} + 1\right) = 16\left(xy\right)^{100} \text{.}$

Županijsko natjecanje 1995 SŠ1 2

Brojevi $a, b, c$ su takvi da je $\frac{a^{2} - bc}{a(1 - bc)} = \frac{b^{2} - ac}{b(1 - ac)},\qquad abc(1 - bc)(1 - ac) \neq 0.$
Ako je $a \neq b$ , dokažite da je $a + b + c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}.$