1. ELMO

Zadaci

1. ELMO zadatak 1

Podskup prirodnih brojeva je jeftin ako za svaki njegov tročlani podskup vrijedi da u njemu postoje dva broja koja su relativno prosta i dva takva da je jedan djeljiv s drugim.

Koliko najviše elemenata može imati jeftin skup?

(Ivan Novak)

1. ELMO zadatak 2

Neka su $x_1, x_2, \ldots, x_9$ nenegativni realni brojevi takvi da $x_1+x_2+\ldots+x_9 = 63$ . Dokaži: $12 \leqslant \sqrt[3]{1+x_1} + \sqrt[3]{1+x_2} + \ldots + \sqrt[3]{1+x_9} \leqslant 18$

(Ivan Sinčić)

1. ELMO zadatak 3

Dokaži da je broj jedinica u svim neuređenim particijama nekog prirodnog broja jednak:

a) sumi brojeva različitih elemenata po svim particijama

b) sumi razlika, po svim particijama, najvećeg i drugog po veličini elementa

Neuređena particija prirodnog broja $n$ je multiskup prirodnih brojeva takav da je zbroj njegovih elemenata $n$ .

(Ivan Novak, Borna Šimić)

Dan je šiljastokutni trokut $ABC$ takav da mu je $\overline{BC}$ najduža stranica. Neka je $\Gamma$ njegova opisana kružnica, a $\Omega_B$ i $\Omega_C$ kružnice središta $B$ , $C$ radijusa $|BA|$ , $|CA|$ redom. Dokaži da tri sjecišta kružnica $\Gamma, \Omega_B, \Omega_C$ koja nisu $A$ čine trokut sličan trokutu $ABC$ .