Simulacija HMO 2020

Simulacija HMO 2020 zadatak 1

Neka su dani $a,b,c \in \mathbb{R}^+$ takvi da su svi u parovima različiti. Dokažite da vrijedi

$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a} >\frac{1}{3} \left(\frac{a^3-b^3}{a^2-b^2}+\frac{b^3-c^3}{b^2-c^2}+\frac{c^3-a^3}{c^2-a^2}\right)$

Simulacija HMO 2020 zadatak 2

Neka je $n \in \mathbb{N}$ . Na $2n$ x $2n$ ploči raspoređeno je nekoliko $n$ x $1$ i $1$ x $n$ figura tako da se međusobno ne preklapaju.

Nazovimo raspored figura na ploči $\bold{maksimalan}$ ako je nemoguće dodati novu figuru na način da ne preklapa one u prvobitnom rasporedu. Nađite najmanji $k$ takav da postoji $\bold{maksimalan}$ raspored koji sadrži $k$ figura.

Simulacija HMO 2020 zadatak 3

Dan je trokut $\bigtriangleup ABC$ , neka su $D,E,F$ redom nožišta visina iz vrhova $A,B,C$ . Nadalje, neka je $H$ ortocentar tog trokuta, $M$ polovište dužine $\overline{AH}$ i $N$ sjecište pravaca $AD$ i $EF$ . Pravac kroz $A$ paralelan s $BM$ siječe $BC$ u $P$ . Dokaži da polovište dužine $\overline{NP}$ leži na $AB$ .