Odredi sve konačne skupove pozitivnih prirodnih brojeva za koje vrijedi da ako su (može biti ) onda je i . označava najveći zajednički dijelitelj brojeva i .
Odredi sve konačne skupove $S$ pozitivnih prirodnih brojeva za koje vrijedi da ako su $i,j \in S$ (može biti $i=j$) onda je i $\dfrac{i+j}{M(i,j)} \in S$. $M(a,b)$ označava najveći zajednički dijelitelj brojeva $a$ i $b$.
Dan je s opisanom kružnicom . Neka su i točke na stranicama i redom takve da vrijedi . Neka pravci paralelni s kroz i sijeku redom u točkama i . Neka je kružnica opisana . Dokaži da se pravci i sijeku na .
Dan je $\triangle ABC$ s opisanom kružnicom $\Omega$. Neka su $D$ i $E$ točke na stranicama $\overline {AB}$ i $\overline {AC}$ redom takve da vrijedi $|AD| = |AE|$. Neka pravci paralelni s $DE$ kroz $B$ i $C$ sijeku $\Omega$ redom u točkama $P$ i $Q$. Neka je $w$ kružnica opisana $\triangle ADE$. Dokaži da se pravci $PE$ i $QD$ sijeku na $w$.
Neka je prirodan broj veći od . Odredi sve skupove s elemenata takvih da suma elemenata niti jednog nepraznog podskupa od nije djeljiva sa .
Neka je $n$ prirodan broj veći od $2$. Odredi sve skupove $A$ s $n$ elemenata takvih da suma elemenata niti jednog nepraznog podskupa od $A$ nije djeljiva sa $n+1$.
Školjka 
pozitivnih prirodnih brojeva za koje vrijedi da ako su 
(može biti 
) onda je i 
. 
označava najveći zajednički dijelitelj brojeva 
i 
. 
, 
i 
takve da je 
. 
s opisanom kružnicom 
. Neka su 
i 
točke na stranicama 
i 
redom takve da vrijedi 
. Neka pravci paralelni s 
kroz 
i 
sijeku 
i 
. Neka je 
kružnica opisana 
. Dokaži da se pravci 
i 
sijeku na 
prirodan broj veći od 
. Odredi sve skupove 
s 
.