3. teža simulacija državnog natjecanja 2020.

3. teža simulacija državnog natjecanja 2020. - zadaci

Mladi nadareni matematičari Marin Getaldić

24. listopada 2020.

3. teža simulacija državnog natjecanja 2020. - rješenja

3. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 1

$P(x)$ je normirani polinom trećeg stupnja sa nultočkama $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{C}$ . Ako za svaki $k \in \mathbb{N}$ vrijedi to da $\alpha^k+\beta^k+\gamma^k \in \mathbb{Z}$ , dokaži da su onda svi koeficijenti od $P(x)$ cijeli brojevi.

3. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 2

Odredi sve parove realnih brojeva $(x,y)$ takve da je $0< x\leq y$ i vrijedi: $\sqrt[2020]{x^{2020}+y^{2020}}= (\sqrt[2020]{2}-1) x+y$

3. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 3

Postoji li aritmetički niz od $2020$ prirodnih brojeva t.d. je svaki član tog niza potencija nekog prirodnog broja veća od $1$ .

3. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 4

Neka je $O$ središte kružnice opisane $\triangle ABC$ . Neka je kružnica $\Omega$ proizvoljna takva da prolazi kroz $B$ i $C$ . Neka su $D$ i $E$ redom presjeci pravaca $BO$ i $CO$ s $\Omega$ unutar $\triangle ABC$ . Okomice iz $D$ i $E$ redom na stranice $AB$ i $AC$ sijeku se u $M$ . Dokaži da su točke $A, M$ i $O$ kolinearne.

3. teža simulacija državnog natjecanja 2020. zadatak 5

U ravnini je $2^{2020}+1$ točaka. Na svakoj dužini koja spaja neke dvije točke nalazi se broj iz skupa ${0,1,...,2^{2020}-1}$ . Za svake $3$ točke $A$ , $B$ i $C$ u ravnini vrijedi da je jedan od brojeva na dužinama $\overline{AB}, \overline{BC}$ i $\overline{AC}$ zbroj druga dva. Dokaži da postoji trokut u ravnini kojemu na svim stranicama pišu nule.