Slični zadaci

Državno natjecanje 1995 SŠ3 2

a) Služeći se poznatim formulama $a=2R\sin \alpha$ i $s - a = r \cot \frac{\alpha}{2}$ u trokutu $ABC$ s polumjerima $R$ i $r$ opisane i upisane kružnice i poluopsegom $s$ i izražavajući $\sin \alpha$ i $\cot \frac{\alpha}{2}$ pomoću $\cos \alpha$ pokažite da je broj $\cos \alpha$ rješenje jednadžbe

$4R^2x^3 - 4R(R+r)x^2 + (s^2+r^2-4R^2)x + (2R+r)^2 - s^2=0.$

b) Izrazite brojeve $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma$ i $\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ pomoću duljina $R$ , $r$ i $s$ .

c) Pokažite da je zbroj orijentiranih udaljenosti središta $O$ opisane kružnice trokuta $ABC$ od pravaca $BC$ , $CA$ , $AB$ jednaka $R+r$ , ako se orijentirana udaljenost točke $O$ od npr. pravca $BC$ uzima kao pozitivna ili negativna već prema tome da li su točke $O$ i $A$ s iste ili s različitih strana tog pravca.

d) Ako se konveksan tetivni $n$ -terokut na bilo koji način podijeli na $n-2$ trokuta pomoću $n-3$ dijagonala, koje se ne sijeku unutar tog poligona, pokažite da je zbroj polumjera upisanih kružnica tih trokuta stalan bez obzira na podjelu na trokute.

(Napomena: Ovaj zadatak vrijedi $50$ bodova (ostali po $25$ ), a pri rješavanju pojedinog dijela ovog zadatka dopušteno je koristiti ranije dijelove makar i ne bili riješeni.)

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Državno natjecanje 2000 SŠ3 1

Dane su točke $B$ i $C$ , dok je $A$ varijabilna, takva da je $\angle BAC$ fiksan. Polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ su točke $D$ i $E$ redom. Točke $F$ i $G$ su takve da je $DF \perp AB$ i $EG \perp AC$ , a $BF$ i $CG$ su okomite na $BC$ . Dokažite da umnožak $|BF| \cdot |CG|$ ne ovisi o položaju točke $A$ .

Državno natjecanje 2006 SŠ3 2

U jednakokračnom trokutu $ABC$ s krakovima $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ , $D$ je polovište osnovice $\overline{BC}$ . Neka je točka $E$ nožište okomice iz $D$ na stranicu $\overline{AB}$ , te $F$ polovište dužine $\overline{DE}$ . Dokaži da je $AF$ okomito na $EC$ .

Državno natjecanje 2007 SŠ3 3

U šiljastokutnom trokutu $ABC$ udaljenosti od vrha $A$ do središta opisane kružnice i ortocentra su jednake. Izračunati kut $\alpha = \angle BAC$ .

Državno natjecanje 2010 SŠ3 1

Neka je točka $S$ središte opisane kružnice trokuta $ABC$ s kutovima $\alpha=\angle{BAC}$ i $\beta = \angle{CBA}$ . Neka pravac $CS$ siječe pravac $AB$ u točki $D$ koja se nalazi između točaka $A$ i $B$ . Dokaži da vrijedi $\frac{\left\vert SD \right\vert}{\left\vert SC \right\vert} = \left\vert \frac{\cos\left(\alpha + \beta\right)}{\cos\left(\alpha-\beta\right)}\right\vert \text{.}$

Državno natjecanje 2010 SŠ3 3

Neka je točka $N$ nožište visine iz vrha $A$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ , točke $P$ i $Q$ redom nožišta okomica iz točke $N$ na stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ , a točka $O$ središte opisane kružnice danog trokuta. Ako vrijedi $\left\vert AC \right\vert = 2\left\vert OP \right\vert$ , dokaži da vrijedi $\left\vert AB \right\vert = 2\left\vert OQ \right\vert$ .

Državno natjecanje 2011 SŠ3 3

U trokutu $ABC$ vrijedi $\left\vert AB \right\vert = \left\vert AC \right\vert$ . Na stranici $\overline{AC}$ nalazi se točka $D$ takva da je $\left\vert AD \right\vert < \left\vert CD \right\vert$ , a na dužini $\overline{BD}$ točka $P$ takva da je $\angle{APC}$ pravi kut. Ako je $\angle{ABP} = \angle{BCP}$ , odredi $\left\vert AD \right\vert : \left\vert CD \right\vert$ .