Školjka

%V0 za duljine $a$, $b$ i $c$ stranica trokuta vrijedi $a \geq b \geq c$. vrhovi trokuta sredista su triju krugova s nenegativnim polumjerima. nikoja dva kruga nemaju zajednickih unutarnjih tocaka, niti obuhvacaju nikoji od preostala dva vrha trokuta. kolika je maksimalna povrsina koju prekrivaju ta tri kruga?

%V0 Kvadar je presječen ravninom tako da je presjek pravilni šesterokut. Dokažite da je to moguće samo ako je kvadar kocka.

%V0 U ravnini su dane dvije različite točke $O$ i $P$. Odaberimo paralelogram $ABCD$ kojem je točka $O$ središte. Označimo s $M$ i $N$ redom polovišta dužina $\overline{AP}$ i $\overline{BP}$. Točka $Q$ je presjek dužina $\overline{MC}$ i $\overline{ND}$. Dokažite da točke $O$, $Q$ i $P$ leže na istom pravcu i da točka $Q$ ne ovisi o izboru paralelograma $ABCD$.

%V0 Na dijagonalama $\overline{AB_1}$ i $\overline{CA_1}$ bočnih strana $ABB_1A_1$ i $CAA_1C_1$ trostrane prizme $ABCA_1B_1C_1$ dane su točke $E$ i $F$ takve da je $EF || BC_1$. Nađite omjer duljina dužina $\overline{EF}$ i $\overline{BC_1}$.

%V0 Neka je $ABCD$ kvadrat i $P$ točka na kružnici opisanoj kvadratu na luku $AB$ koji ne sadrži točku $C$. Koje vrijednosti može poprimiti izraz $$\frac{|AP| + |BP|}{|CP| + |DP|}\text{?}$$

%V0 Kružnice $C_1$ i $C_2$ sijeku se u točkama $A$ i $B$. Tangenta kružnice $C_2$ povučena iz točke $A$ siječe kružnicu $C_1$ u točki $C$, a tangenta kružnice $C_1$ povućena iz točke $A$ siječe kružnicu $C_2$ u točki $D$. Polupravac kroz točku $A$, koji leži unutar kuta $\angle{CAD}$, siječe kružnicu $C_1$ u točki $M$, kružnicu $C_2$ u točki $N$ i kružnicu opisanu trokutu $ACD$ u točki $P$. Dokaži da je udaljenost točaka $A$ i $M$ jednaka udaljenosti točaka $N$ i $P$.