Hrvatska matematička olimpijada 1994 - Drugi dan - Zadatak 2
Dodao/la:
mljulj12. travnja 2012. Za svaki prirodan broj
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
određeni su cijeli brojevi
![a_n](/media/m/1/f/f/1ff6f81c68b9c6fb726845c9ce762d7a.png)
i
![b_n](/media/m/0/5/5/0556716d795d64012c34cf6e026fa5d2.png)
tako da je
![(1+\sqrt{2})^{2n+1}=a_n+b_n \sqrt{2}.](/media/m/3/8/d/38d72831385b9a8cdfc732b3cb4c0373.png)
a) Dokažite da su
![a_n](/media/m/1/f/f/1ff6f81c68b9c6fb726845c9ce762d7a.png)
i
![b_n](/media/m/0/5/5/0556716d795d64012c34cf6e026fa5d2.png)
neparni za svaki
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
.
b) Dokažite da je
![b_n](/media/m/0/5/5/0556716d795d64012c34cf6e026fa5d2.png)
hipotenuza pravokutnog trokuta čije su katete
%V0
Za svaki prirodan broj $n$ određeni su cijeli brojevi $a_n$ i $b_n$ tako da je
$$ (1+\sqrt{2})^{2n+1}=a_n+b_n \sqrt{2}.$$
a) Dokažite da su $a_n$ i $b_n$ neparni za svaki $n$.
b) Dokažite da je $b_n$ hipotenuza pravokutnog trokuta čije su katete
$$ \frac{a_n+(-1)^n}{2}, \ \frac{a_n-(-1)^n}{2}. $$
Izvor: Hrvatska matematička olimpijada 1994.