Školjka

%V0 Dane su točke $B$ i $C$, dok je $A$ varijabilna, takva da je $\angle BAC$ fiksan. Polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ su točke $D$ i $E$ redom. Točke $F$ i $G$ su takve da je $DF \perp AB$ i $EG \perp AC$, a $BF$ i $CG$ su okomite na $BC$. Dokažite da umnožak $|BF| \cdot |CG|$ ne ovisi o položaju točke $A$.

%V0 U jednakokračnom trokutu $ABC$ s krakovima $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$, $D$ je polovište osnovice $\overline{BC}$. Neka je točka $E$ nožište okomice iz $D$ na stranicu $\overline{AB}$, te $F$ polovište dužine $\overline{DE}$. Dokaži da je $AF$ okomito na $EC$.

%V0 Neka je $ABC$ trokut u kojem vrijedi $\left\vert AC \right\vert > \left\vert BC \right\vert$. Izrazi površinu trokuta određenog stranicom $\overline{AB}$, simetralom stranice $\overline{AB}$ i simetralom kuta $\angle{ACB}$ pomoću duljina stranica trokuta $ABC$.

%V0 Neka je točka $S$ središte opisane kružnice trokuta $ABC$ s kutovima $\alpha=\angle{BAC}$ i $\beta = \angle{CBA}$. Neka pravac $CS$ siječe pravac $AB$ u točki $D$ koja se nalazi između točaka $A$ i $B$. Dokaži da vrijedi $$ \frac{\left\vert SD \right\vert}{\left\vert SC \right\vert} = \left\vert \frac{\cos\left(\alpha + \beta\right)}{\cos\left(\alpha-\beta\right)}\right\vert \text{.} $$

%V0 Neka je točka $N$ nožište visine iz vrha $A$ šiljastokutnog trokuta $ABC$, točke $P$ i $Q$ redom nožišta okomica iz točke $N$ na stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$, a točka $O$ središte opisane kružnice danog trokuta. Ako vrijedi $\left\vert AC \right\vert = 2\left\vert OP \right\vert$, dokaži da vrijedi $\left\vert AB \right\vert = 2\left\vert OQ \right\vert$.

%V0 U trokutu $ABC$ vrijedi $\left\vert AB \right\vert = \left\vert AC \right\vert$. Na stranici $\overline{AC}$ nalazi se točka $D$ takva da je $\left\vert AD \right\vert < \left\vert CD \right\vert$, a na dužini $\overline{BD}$ točka $P$ takva da je $\angle{APC}$ pravi kut. Ako je $\angle{ABP} = \angle{BCP}$, odredi $\left\vert AD \right\vert : \left\vert CD \right\vert$.