Školjka

%V0 Dane su točke $B$ i $C$, dok je $A$ varijabilna, takva da je $\angle BAC$ fiksan. Polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ su točke $D$ i $E$ redom. Točke $F$ i $G$ su takve da je $DF \perp AB$ i $EG \perp AC$, a $BF$ i $CG$ su okomite na $BC$. Dokažite da umnožak $|BF| \cdot |CG|$ ne ovisi o položaju točke $A$.

%V0 U trokutu $ABC$ kutovi $\alpha=\angle BAC$ i $\beta = \angle CBA$ su šiljasti. S vanjske strane trokuta nad stranicama $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$, kao bazama, konstruirani su jednakokoračni trokuti $ACD$ i $BCE$ s vršnim kutovima $\angle ADC = \beta$, odnosno $\angle BEC = \alpha$. Neka je $O$ središte kružnice opisane trokutu $ABC$. Dokažite da je $|DO| + |EO|$ jednako opsegu trokuta $ABC$ ako i samo ako je $\angle ACB$ pravi.

%V0 U jednakokračnom trokutu $ABC$ s krakovima $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$, $D$ je polovište osnovice $\overline{BC}$. Neka je točka $E$ nožište okomice iz $D$ na stranicu $\overline{AB}$, te $F$ polovište dužine $\overline{DE}$. Dokaži da je $AF$ okomito na $EC$.

%V0 U šiljastokutnom trokutu $ABC$ udaljenosti od vrha $A$ do središta opisane kružnice i ortocentra su jednake. Izračunati kut $\alpha = \angle BAC$.

%V0 Neka je točka $N$ nožište visine iz vrha $A$ šiljastokutnog trokuta $ABC$, točke $P$ i $Q$ redom nožišta okomica iz točke $N$ na stranice $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$, a točka $O$ središte opisane kružnice danog trokuta. Ako vrijedi $\left\vert AC \right\vert = 2\left\vert OP \right\vert$, dokaži da vrijedi $\left\vert AB \right\vert = 2\left\vert OQ \right\vert$.

%V0 U trokutu $ABC$ vrijedi $\left\vert AB \right\vert = \left\vert AC \right\vert$. Na stranici $\overline{AC}$ nalazi se točka $D$ takva da je $\left\vert AD \right\vert < \left\vert CD \right\vert$, a na dužini $\overline{BD}$ točka $P$ takva da je $\angle{APC}$ pravi kut. Ako je $\angle{ABP} = \angle{BCP}$, odredi $\left\vert AD \right\vert : \left\vert CD \right\vert$.