Državno natjecanje 1994 SŠ4 2
Dodao/la:
arhiva1. travnja 2012. Neka je
![z](/media/m/d/2/4/d241a79f1fdd0ce9a8f3f91570ba5d62.png)
kompleksan broj i
![w = f(z) = \frac{2}{3-z}](/media/m/f/4/a/f4a70248653738d83e75470f7c7d64e8.png)
.
(a) Odredite skup
![\{w : z=2+iy,\, y \in \mathbb{R}\}](/media/m/6/3/2/632968f067dfc2d7088dfb5c92e8af44.png)
u kompleksnoj ravnini.
(b) Pokažite da se funkcija
![w](/media/m/a/7/a/a7abf250ebf14efa424fde966849d5f9.png)
može zapisati u obliku
![\frac{w-1}{w-2}=\lambda \frac{z-1}{z-2}](/media/m/2/5/2/25232b40c551260045ad72db4d5c860f.png)
.
(c) Neka je
![z_0 = \frac12](/media/m/6/b/f/6bf9c1ae8f41dbe3219748108caa4a1f.png)
i niz
![(z_n)](/media/m/1/7/8/17861e9e80a780bf3dd894c78a1ebfd7.png)
definiran sa
![z_n = \frac{2}{3-z_{n-1}}](/media/m/b/2/7/b279b740cdc8859447ff383f9d55230e.png)
,
![n \geq 1](/media/m/a/9/8/a982fcac3e2c9e0d94e965d6efb5a582.png)
.
Koristeći svojstvo (b) izračunajte limes niza
![(z_n)](/media/m/1/7/8/17861e9e80a780bf3dd894c78a1ebfd7.png)
.
%V0
Neka je $z$ kompleksan broj i $w = f(z) = \frac{2}{3-z}$.
(a) Odredite skup $\{w : z=2+iy,\, y \in \mathbb{R}\}$ u kompleksnoj ravnini.
(b) Pokažite da se funkcija $w$ može zapisati u obliku $\frac{w-1}{w-2}=\lambda \frac{z-1}{z-2}$.
(c) Neka je $z_0 = \frac12$ i niz $(z_n)$ definiran sa
$z_n = \frac{2}{3-z_{n-1}}$, $n \geq 1$.
Koristeći svojstvo (b) izračunajte limes niza $(z_n)$.
Izvor: Državno natjecanje iz matematike 1994