Školjka

%V0 Zadane su kružnica i tetiva koja dijeli njezinu nutrinu na dva kružna odsječka. U njih su upisane kružnice $k_1$ i $k_2$ koje iznutra diraju kružniuc $k$, i danu tetivu diraju u istoj točki s raznih njezinih strana. Dokažite da je omjer polumjera kružnica $k_1$ i $k_2$ konstantan, tj. da ne ovisi o položaju zajedničkog dirališta s tetivom.

%V0 Krakovi jednakokračnog trokuta $ABC$ diraju kružnicu čije se središte nalazi na osnovici $\overline{BC}$ tog trokuta. Točke $P$ i $Q$ nalaze se na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom. Dokažite da je $$|PB| \cdot |CQ| = (\frac{1}{2} |BC|)^2$$ ako i samo ako je $PQ$ tangenta promatrane kružnice.

%V0 neka je $I$ tocka na simetrali kuta $\angle BAC$ trokuta $ABC$, a $M$ i $N$ redom tocke na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$, takve da je $\angle ABI = \angle NIC$ i $\angle ACI = \angle MIB$. dokazite da je $I$ srediste upisane kruznice trokuta $ABC$ ako i samo ako su tocke $M$, $N$ i $I$ kolinearne.

%V0 neka je $ABCD$ konveksni cetverokut i neka su $P$ i $Q$ redom tocke na njegovim stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ takve da je $\angle BAP = \angle DAQ$. dokazite da trokuti $ABP$ i $ADQ$ imaju jednake povrsine ako i samo ako je spojnica njihovih ortocentara okomita na pravac $AC$.

%V0 Nad stranicama $\overline{AB}, \overline{BC}$ trokuta $ABC$ konstruirani su kvadrati $ABKL, BCMN$ (koji s trokutom imaju samo zajednicku stranicu). a) Ako je $D$ tocka takva da je $ABCD$ paralelogram, dokazi da su trokuti $ABD$ i $BKN$ sukladni. b) Dokazi da su polovista duzina $\overline{AC}, \overline{KN}$ i sredista kvadrata $ABKL, BCMN$ vrhovi kvadrata.

%V0 Odredite skup svih središta kružnica koje izvana dodiruju kružnice $$ x^2+y^2=9\quad \text{i}\quad (x-5)^2+y^2=4. $$