Državno natjecanje 1997 SŠ4 3
Dodao/la:
arhiva1. travnja 2012. Dana je funkcija
![f](/media/m/9/9/8/99891073047c7d6941fc8c6a39a75cf2.png)
definirana na pozitivnim cijelim brojevima, koja ima ova svojstva
![f(1)=1,\,\,\,\, f(2)=2\text{.}](/media/m/0/3/3/033252f4282b59106a30294fb7357b02.png)
![f(n+2)=f(n+2-f(n+1))+f(n+1-f(n)), \,\,\,\, (n \geq 1)\text{.}](/media/m/a/f/b/afb47b3180ffc918c0ca7535227aa950.png)
![(a)](/media/m/a/7/f/a7fedf50ce0b917a00dd07d5233906f1.png)
Pokažite da je
![f(n+1)-f(n) \in \{0,\,1\}](/media/m/3/8/d/38d70764f7c9d2f6ebde3fff75324eec.png)
za svaki
![n \geq 1](/media/m/a/9/8/a982fcac3e2c9e0d94e965d6efb5a582.png)
.
![(b)](/media/m/9/2/7/92773ef234467079b4efc86655fdc459.png)
Ako je
![f(n)](/media/m/d/3/e/d3e47283bffbbf24c97f0c6474d5a82d.png)
neparan, pokažite da je
![f(n+1)=f(n)+1](/media/m/6/f/6/6f6fabb272b0252ad6ce1c8f3bf7453f.png)
.
![(c)](/media/m/f/1/7/f17cafda3d149c9263bc72286e0f6dd3.png)
Za dani broj
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
odredite sve vrijednosti
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
za koje je
%V0
Dana je funkcija $f$ definirana na pozitivnim cijelim brojevima, koja ima ova svojstva $$f(1)=1,\,\,\,\, f(2)=2\text{.}$$
$$f(n+2)=f(n+2-f(n+1))+f(n+1-f(n)), \,\,\,\, (n \geq 1)\text{.}$$
$(a)$ Pokažite da je $f(n+1)-f(n) \in \{0,\,1\}$ za svaki $n \geq 1$.
$(b)$ Ako je $f(n)$ neparan, pokažite da je $f(n+1)=f(n)+1$.
$(c)$ Za dani broj $k$ odredite sve vrijednosti $n$ za koje je $$f(n)=2^{k-1}+1\text{.}$$
Izvor: Državno natjecanje iz matematike 1997