Državno natjecanje 2002 SŠ4 2


Kvaliteta:
  Avg: 1,0
Težina:
  Avg: 4,0
Dodao/la: arhiva
1. travnja 2012.
LaTeX PDF
Vrhovi kocke u prostornom koordinatnom sustavu s ishodištem O su u točkama A(1,1,1), A^\prime(-1,-1,-1), B(-1,1,1), B^\prime(1,-1,-1), C(-1,-1,1), C^\prime(1,1,-1), D(1,-1,1), D^\prime(-1,1,-1). Točka O je središte kocki opisane sfere. Neka točka T nije na toj sferi i d=|OT|. Označimo s \alpha = \angle ATA^\prime, \beta = \angle BTB^\prime, \gamma = \angle CTC^\prime, \delta = \angle DTD^\prime. Dokažite da je

tg^2 \alpha + tg^2 \beta + tg^2 \gamma + tg^2 \delta = \frac{32d^2}{(d^2-3)^2}.
Izvor: Državno natjecanje iz matematike 2002