Slični zadaci

Državno natjecanje 2002 SŠ4 2

Vrhovi kocke u prostornom koordinatnom sustavu s ishodištem $O$ su u točkama $A(1,1,1)$ , $A^\prime(-1,-1,-1)$ , $B(-1,1,1)$ , $B^\prime(1,-1,-1)$ , $C(-1,-1,1)$ , $C^\prime(1,1,-1)$ , $D(1,-1,1)$ , $D^\prime(-1,1,-1)$ . Točka $O$ je središte kocki opisane sfere. Neka točka $T$ nije na toj sferi i $d=|OT|$ . Označimo s $\alpha = \angle ATA^\prime$ , $\beta = \angle BTB^\prime$ , $\gamma = \angle CTC^\prime$ , $\delta = \angle DTD^\prime$ . Dokažite da je

$tg^2 \alpha + tg^2 \beta + tg^2 \gamma + tg^2 \delta = \frac{32d^2}{(d^2-3)^2}.$

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Državno natjecanje 2001 SŠ4 2

Papir oblika kvadrata s vrhovima $F$ , $B$ , $H$ i $D$ ima stranica duljina $a$ . Na njegovim stranicama $\overline{FB}$ i $\overline{BH}$ označenje su točke $G$ i $A$ , odnosno $E$ i $C$ , takve da je $|FG| = |GA| = |AB|$ i $|BE| = |EC| = |CH|$ . Papir je presavinut po dužinama $\overline{DG}$ , $\overline{DA}$ , $\overline{DC}$ i $\overline{AC}$ tako da se točka $G$ poklopi s $B$ , a točke $F$ i $H$ s točkom $E$ . Odredite volumen tako nastale trostrane piramide $ABCD$ .

Državno natjecanje 2003 SŠ4 1

neka je $I$ tocka na simetrali kuta $\angle BAC$ trokuta $ABC$ , a $M$ i $N$ redom tocke na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ , takve da je $\angle ABI = \angle NIC$ i $\angle ACI = \angle MIB$ . dokazite da je $I$ srediste upisane kruznice trokuta $ABC$ ako i samo ako su tocke $M$ , $N$ i $I$ kolinearne.

Državno natjecanje 2004 SŠ4 2

unutar troukta $ABC$ s duljinama stranica $a, b, c$ i odgovarajucim kutevima $\alpha, \beta, \gamma$ postoje tocke $P$ i $Q$ takve da vrijedi
$\angle BPC = \angle CPA = \angle APB = 120^\circ$ ,
$\angle BQC = 60^\circ + \alpha, \angle CQA = 60^\circ + \beta, \angle AQB = 60^\circ + \gamma$ .
dokazite da vrijedi jednakost
$(|AP| + |BP| + |CP|)^3\cdot|AQ|\cdot|BQ|\cdot|CQ| = (abc)^2$

Državno natjecanje 2005 SŠ4 4

neka je $ABCD$ konveksni cetverokut i neka su $P$ i $Q$ redom tocke na njegovim stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{CD}$ takve da je $\angle BAP = \angle DAQ$ . dokazite da trokuti $ABP$ i $ADQ$ imaju jednake povrsine ako i samo ako je spojnica njihovih ortocentara okomita na pravac $AC$ .

Državno natjecanje 2008 SŠ4 2

Odredi formulu za zbroj $\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor \text{,}$ gdje je $\lfloor r \rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$ .

Državno natjecanje 2008 SŠ4 3

Nad stranicama $\overline{AB}, \overline{BC}$ trokuta $ABC$ konstruirani su kvadrati $ABKL, BCMN$ (koji s trokutom imaju samo zajednicku stranicu).
a) Ako je $D$ tocka takva da je $ABCD$ paralelogram, dokazi da su trokuti $ABD$ i $BKN$ sukladni.
b) Dokazi da su polovista duzina $\overline{AC}, \overline{KN}$ i sredista kvadrata $ABKL, BCMN$ vrhovi kvadrata.