Školjka

%V0 U ravnini je dana kružnica $k$ i točka $K$. Za bilo koje dvije različite točke $P$ i $Q$ na $k$, kružnica $k'$ prolazi kroz točke $P$, $Q$ i $K$. Neka je $M$ sjecište tangente na kružnicu $k'$ u točki $K$ i pravca $PQ$. Opišite geometrijsko mjesto točama $M$ kada $P$ i $Q$ prolaze svim točkama kružnice $k$.

%V0 u ravnini je dan kvadrat s vrhovima $T_1 = (1, 0)$, $T_2 = (0, 1)$, $T_3 = (-1, 0)$, $T_4 = (0, -1)$. za svaki $n \in \mathbb{N}$ neka je $T_{n+4}$ poloviste duzine $\overline{T_nT_{n+1}}$. uz pretpostavku da niz tocaka $T_n (n \rightarrow \infty)$ ima granicnu tocku, nadite koordinate te tocke.

%V0 Dana je točka $T_0$ na paraboli $\mathcal{P}$ s jednadžbom $y^2 = 2px$ i točka $T_0^\prime$ takva da je polovište dužine $\overline{T_0 T_0^\prime}$ na osi parabole $\mathcal{P}$. Za varijabilnu točku $T$ na $\mathcal{P}$, različitu od $T_0$ i njoj simetrične točke s obzirom na os parabole, okomica iz točke $T_0^\prime$ na pravac $T_0 T$ siječe paralelu s osi parabole kroz točku $T$ u točki $T^\prime$. Što opisuje točka $T^\prime$?

%V0 Krakovi jednakokračnog trokuta $ABC$ diraju kružnicu čije se središte nalazi na osnovici $\overline{BC}$ tog trokuta. Točke $P$ i $Q$ nalaze se na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom. Dokažite da je $$|PB| \cdot |CQ| = (\frac{1}{2} |BC|)^2$$ ako i samo ako je $PQ$ tangenta promatrane kružnice.

%V0 Na slici su unutar kružnice sa središtem $O$ i polumjerom $1$ nacrtani lukovi još šest kružnica istog polumjera. U području između dvije susjedne "latice" upisan je niz kružnica s polumjerima $r_1$, $r_2$, $r_3$, ..., koje se s početnom kružnicom i susjednim kružnicama u nizu dodiruju redom u točkama $D_1$, $D_2$, $D_3$, ... . Za svaki $n$ izračunajte polumjer $r_n$ i duljinu $d_n=|OD_n|$. [img attachment=1 width=300px]

%V0 Vrhovi kocke u prostornom koordinatnom sustavu s ishodištem $O$ su u točkama $A(1,1,1)$, $A^\prime(-1,-1,-1)$, $B(-1,1,1)$, $B^\prime(1,-1,-1)$, $C(-1,-1,1)$, $C^\prime(1,1,-1)$, $D(1,-1,1)$, $D^\prime(-1,1,-1)$. Točka $O$ je središte kocki opisane sfere. Neka točka $T$ nije na toj sferi i $d=|OT|$. Označimo s $\alpha = \angle ATA^\prime$, $\beta = \angle BTB^\prime$, $\gamma = \angle CTC^\prime$, $\delta = \angle DTD^\prime$. Dokažite da je $$tg^2 \alpha + tg^2 \beta + tg^2 \gamma + tg^2 \delta = \frac{32d^2}{(d^2-3)^2}.$$