Državno natjecanje 2004 SŠ4 1
Dodao/la:
arhiva1. travnja 2012. neka je
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
prirodan broj i neka su
![z_1, \dots, z_n, w_1, \dots, w_n](/media/m/1/b/6/1b6f2f239d37abbbcc35c7e7da3952ca.png)
kompleksni brojevi takvi da za svaki izbor brojeva
![\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n](/media/m/5/2/1/521af31dab1c098fc6db0f1b5d34ae20.png)
iz skupa
![\{-1, 1\}](/media/m/8/8/1/881dc787d3fbf8e457bee4f855fa3766.png)
vrijedi
![|\varepsilon_1z_1 + \dots + \varepsilon_nz_n| \leq |\varepsilon_1w_1 + \dots \varepsilon_nw_n|](/media/m/6/5/a/65aa4529c66e8fd52f97ac2151b433ef.png)
.
dokazite da je
![|z_1|^2 + \dots + |z_n|^2 \leq |w_1|^2 + \dots + |w_n|^2](/media/m/6/f/f/6ff6dd6b7f2de6b19d3ebe8e5d4fe477.png)
.
%V0
neka je $n$ prirodan broj i neka su $z_1, \dots, z_n, w_1, \dots, w_n$ kompleksni brojevi takvi da za svaki izbor brojeva $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n$ iz skupa $\{-1, 1\}$ vrijedi
$|\varepsilon_1z_1 + \dots + \varepsilon_nz_n| \leq |\varepsilon_1w_1 + \dots \varepsilon_nw_n|$.
dokazite da je
$|z_1|^2 + \dots + |z_n|^2 \leq |w_1|^2 + \dots + |w_n|^2$.
Izvor: Državno natjecanje iz matematike 2004