Slični zadaci

Državno natjecanje 2010 SŠ4 3

Za dani prirodni broj $n$ neka je $M\!\left(n\right)$ najveći prirodni broj za koji je moguće konstruirati niz prirodnih brojeva $x_1,\,x_2,\,\ldots,\,x_{M\!\left(n\right)} \in \left\{ 2,\,3,\,\ldots,\,n\right\}$ tako da vrijedi:

Za svaka dva različita broja $i,\,j \in \left\{1,\,2,\,\ldots,\,M\!\left(n\right) \right\}$ brojevi $2^{x_i}-1$ i $2^{x_j}-1$ su relativno prosti.

Ako je $M\!\left(k\right) = M\!\left(k-1\right)$ za neki prirodni broj $k>1$ , dokaži da je $k$ složen.

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Državno natjecanje 1995 SŠ4 2

Neka je $n$ prirodan broj koji se može prikazivati kao suma kvadrata dvaju prirodnih brojeva na dva različita načina:
$n=a^2+b^2=c^2+d^2, \,\,\, a \neq c, \,\, b \neq d.$
Dokažite da je $n$ složen broj.

Državno natjecanje 1995 SŠ4 4

Zadan je niz $x_1=1$ , $x_2=2$ , $x_3=4$ , $x_{n+3}=x_{n+2}+x_{n+1}+x_n$ , za svako $n \in \mathbb{N}$ . Dokažite da se svaki prirodni broj može prikazati kao zbroj različitih elemenata tog niza.

Državno natjecanje 2001 SŠ4 3

Dan je broj $n = p_1 p_2 p_3 p_4$ , gdje su $p_1$ , $p_2$ , $p_3$ i $p_4$ četiri različita prosta broja. Njegovi pozitivni cjelobrojni djelitelji su

$d_1 = 1 < d_2 < d_3 < \ldots < d_{15} < d_{16} = n.$
Postoji li $n < 2001$ , takav da je $d_9 - d_8 = 22$ ?

Državno natjecanje 2008 SŠ4 2

Odredi formulu za zbroj $\lfloor \sqrt{1} \rfloor + \lfloor \sqrt{2} \rfloor + \lfloor \sqrt{3} \rfloor + \cdots + \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor \text{,}$ gdje je $\lfloor r \rfloor$ najveći cijeli broj koji nije veći od $r$ .

Državno natjecanje 2010 SŠ4 1

a) Neka je $k$ prirodni broj. Dokaži da aritmetički niz čija je razlika prirodni broj ili ne sadrži niti jednu $k$ -tu potenciju prirodnog broja ili ih sadrži beskonačno mnogo.

b) Postoji li aritmetički niz čija je razlika prirodni broj koji sadrži beskonačno mnogo kubova prirodnih brojeva, ali ne sadrži niti jedan kvadrat prirodnog broja?

Prosti

Neka je skup prirodnih brojeva podijeljen u intervale na sljedeći način:
U prvom intervalu je broj 1, u drugom brojevi 2 i 3, u trećem 4, 5 i 6 i u svakom idućem jedan broj više nego u prethodnom (brojevi u intervalima su uzastopni).
Neka je $p_i$ udio prostih brojeva u $i$ -tom intervalu.

a) Dokaži ili opovrgni: Postoji beskonačno brojeva $k$ za koje je $p_{k+1} < p_k$ .

b) Dokaži ili opovrgni: Postoji beskonačno brojeva $k$ za koje je $p_{k+1} > p_k$ .