Državno natjecanje 2012 SŠ4 2
Dodao/la:
arhiva1. travnja 2012. Neka su
![p_1](/media/m/f/1/8/f1808e8968e71ff3c562dbd2f53fc16f.png)
i
![q_1](/media/m/6/7/c/67c86efc63a51050f6ef0e84a91cec5f.png)
cijeli brojevi takvi da jednadžba
![x^2 + p_1x + q_1 = 0](/media/m/d/4/6/d46140ad8ee56294eaf82006d5b51d77.png)
ima dva cjelobrojna rješenja. Za svaki
![n\in\mathbb{N}](/media/m/2/8/1/281f646b448641f8943c8ee1e9772add.png)
definiramo brojeve
![p_{n+1}](/media/m/8/1/2/8123f40f9765fade4b82f2e32bd5f2d0.png)
i
![q_{n+1}](/media/m/c/8/1/c811aae036c552042765c2588996c4b6.png)
formulama
![p_{n+1} = p_{n} + 1,\quad q_{n+1} = q_n + \frac{1}{2}p_n.](/media/m/e/2/1/e2100e51a3e54ee461344ca167d60f69.png)
Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
za koje jednadžba
![x^2 + p_nx + q_n = 0](/media/m/3/0/5/3056b261d6c3d6c482fbefe8e21f750d.png)
ima dva cjelobrojna rješenja.
%V0
Neka su $p_1$ i $q_1$ cijeli brojevi takvi da jednadžba $x^2 + p_1x + q_1 = 0$ ima dva cjelobrojna rješenja. Za svaki $n\in\mathbb{N}$ definiramo brojeve $p_{n+1}$ i $q_{n+1}$ formulama $$p_{n+1} = p_{n} + 1,\quad q_{n+1} = q_n + \frac{1}{2}p_n.$$
Dokaži da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva $n$ za koje jednadžba $x^2 + p_nx + q_n = 0$ ima dva cjelobrojna rješenja.
Izvor: Državno natjecanje iz matematike 2012