Školjka

Neka je $n \geq 3$ prirodni broj. Kvadrat $ABCD$ je podijeljen na $n^2$ pravokutnika pravcima $p_1, \dots, p_{n-1}$ paralelnim s pravcem $AB$ i pravcima $q_1, \dots, q_{n-1}$ paralelnim s pravcem $BC$. Stranice $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ leže redom na pravcima $p_0$ i $p_n$, a stranice $\overline{BC}$ i $\overline{AD}$ redom na pravcima $q_0$ i $q_n$. Pravac $p_i$ se nalazi između pravaca $p_{i-1}$ i $p_{i+1}$, a pravac $q_i$ se nalazi između pravaca $q_{i-1}$ i $q_{i+1}$, za sve $i = 1, \dots, n - 1$. Neka je $A_{i,j}$ pravokutnik omeđen pravcima $p_{i-1}, p_i, q_{j-1}$ i $q_j$, za $1 \leq i, j \leq n$. Ako je poznato da pravokutnici $A_{i,j}$ i $A_{j,i}$ imaju jednake površine za svaki par $(i, j)$ takav da je $1 \leq i < j \leq n$, dokaži da je $A_{i,i}$ kvadrat za svaki $i = 1, \dots, n$.