Školjka

%V0 U pravokutnom trokutu $ABC$ točka $K$ je polovište hipotenuze $\overline{AB}.$ Točka $M$ je na stranici $\overline{AC}$ tako da je $|AM| = 2|MC|.$ Dokažite da je $\angle{MBA} = \angle{MKC}.$

%V0 U ravnini su dane dvije kružnice $k_1$ i $k_2$ na koje su povučene dvije unutarnje zajedničke tangente $u$, $u'$ i dvije vanjske $v$, $v'$. Dokažite da sjecišta tangenata $u \cap v$, $u \cap v'$, $u' \cap v$, $u' \cap v'$ leže na jednoj kružnici.

%V0 Kružnice $k_1$ i $k_2$ s polumjerima $r_1$ i $r_2$ ($r_1<r_2$) dodiruju se iznutra u točki $P$. Neka je $q$ jedna tangenta na $k_1$, koja ju dodiruje u točki $R$, i paralelna je zajedničkom promjeru danih kružnica. Neka su $M$ i $N$ sjecišta tangente $q$ s $k_2$. Dokažite da je $PR$ simetrala kuta $\angle MPN$.

%V0 Na gornjem dijelu kružnice sa središtem $O$ nalaze se točke $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, tako da je $\angle AOB=60^\circ $, $\angle AOC=90^\circ $, $\angle AOD=120^\circ $, $\angle AOE=180^\circ $. Ako je $P$ točka koja dijeli polumjer $\overline{OA}$ u omjeru zlatnog reza, tj. $|OP|:|PA|=|PA|:|OA|$, odredite međusobne omjere kvadrata udaljenosti $|PA|^2$, $|PB|^2$, $|PC|^2$, $|PD|^2$, $|PE|^2$.

%V0 Težišnica i visina iz vrha $A$ trokuta $ABC$ dijele kut kod vrha $A$ na tri jednaka dijela. Koliki su kutovi trokuta $ABC$?

%V0 Neka je $ABCD$ pravokutnik i $k$ kružnica sa središtem u središtu pravokutnika. Kružnica $k$ siječe stranicu $\overline{AB}$ u točkama $K$ i $L$, a stranicu $\overline{CD}$ u točkama $M$ i $N$, i pritom je $LN \perp AC$. Ako polovište dužine $\overline{AN}$ leži na kružnici $k$, koliki je omjer duljina stranica danog pravokutnika?