Državno natjecanje 2003 SŠ1 2
Dodao/la:
arhiva1. travnja 2012. Produkt pozitivnih realnih brojeva
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
,
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
i
![z](/media/m/d/2/4/d241a79f1fdd0ce9a8f3f91570ba5d62.png)
jednak je
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
. Ako je
![\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geqslant x + y + z \text{,}](/media/m/d/3/a/d3aee7cc84087a561abb9fe37b8e3374.png)
dokažite da je
![\frac{1}{x^k} + \frac{1}{y^k} + \frac{1}{z^k} \geqslant x^k + y^k + z^k \text{,}](/media/m/8/c/7/8c73d0200c2a81740097d4a8b5824d3b.png)
za svaki prirodan broj
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
.
%V0
Produkt pozitivnih realnih brojeva $x$, $y$ i $z$ jednak je $1$. Ako je $$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \geqslant x + y + z \text{,}$$ dokažite da je $$\frac{1}{x^k} + \frac{1}{y^k} + \frac{1}{z^k} \geqslant x^k + y^k + z^k \text{,}$$ za svaki prirodan broj $k$.
Izvor: Državno natjecanje iz matematike 2003