Školjka

%V0 U ravnini su dane dvije kružnice $k_1$ i $k_2$ na koje su povučene dvije unutarnje zajedničke tangente $u$, $u'$ i dvije vanjske $v$, $v'$. Dokažite da sjecišta tangenata $u \cap v$, $u \cap v'$, $u' \cap v$, $u' \cap v'$ leže na jednoj kružnici.

%V0 Oko kružnice polumjera $1$ položeno je šest kružnica polumjera $r$, tako da svaka dodiruje izvana središnju kružnicu (polumjera $1$) i dvije susjedne kružnice polumjera $r$. Oko ovih kružnica položeno je još šest većih kružnica polumjera $R$, od kojih svaka dodiruje izvana dvije kružnice polumjera $r$ i dvije veće kružnice (polumjera $R$). Izračunajte polumjere $r$ i $R$.

%V0 Deset kružnica polumjera $r=1$ postavljeno je unutar kružnice polumjera $R$ kao na slici. Koliki je $R$? [img attachment=2 width=150px]

%V0 Neka su $O$ i $P$ redom opseg i površina pravokutnika. Dokaži da vrijedi $$ O\ge \dfrac{24P}{O+P+1}. $$

%V0 Tetiva $\overline{AB}$ paralelna je s promjerom $\overline{MN}$ kružnice. Neka je $t$ tangenta te kružnice u točki $M$ te neka su točke $C$ i $D$ redom sjecišta pravaca $NA$ i $NB$ s pravcem $t$. Dokaži da vrijedi $$ |MC|\cdot|MD|= |MN|^{2}. $$

%V0 Neka je $n\ge 3$ prirodni broj. U kružnicu je upisan $n$-terokut $A_1A_2\ldots A_n$. Dokaži da postoje tri vrha $A,B,C\in\{A_1,\ldots,A_n\}$ za koje vrijedi $$ |AB|^2+|BC|^2+|CA|^2\ge |A_1A_2|^2+|A_2A_3|^2+\ldots+|A_iA_{i+1}|^2+\ldots+|A_nA_1|^2. $$