Školjka

%V0 Od svih brojeva oblika $36^m - 5^n$, gdje su $m$ i $n$ prirodni brojevi, odredi najmanji po apsolutnoj vrijednosti.

%V0 Zadan je niz $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=4$, $x_{n+3}=x_{n+2}+x_{n+1}+x_n$, za svako $n \in \mathbb{N}$. Dokažite da se svaki prirodni broj može prikazati kao zbroj različitih elemenata tog niza.

%V0 Nađite sva cjelobrojna rješenja jednadžbe $$ 4x+y+4\sqrt{xy}-28\sqrt{x}-14\sqrt{y}+48=0. $$

%V0 Zadani su nizovi prirodnih brojeva $a_n=2^{2n+1}-2^{n+1}+1$ i $b_n=2^{2n+1}+2^{n+1}+1$; $n \in \mathbb{N}$. Dokaži da je, za svaki $n \in \mathbb{N}$, točno jedan od brojeva $a_n$ i $b_n$ djeljiv s $5$.

%V0 Zadan je niz brojeva $(a_n)$ takav da je $$a_0=9\qquad\text{i}\qquad a_{k+1}=3a_k^4+4a_k^3\quad\text{za sve }\ k\ge 0.$$ Dokaži da dekadski zapis broja $a_{11}$ završava s barem $2011$ devetki.

%V0 Neka je skup prirodnih brojeva podijeljen u intervale na sljedeći način: U prvom intervalu je broj 1, u drugom brojevi 2 i 3, u trećem 4, 5 i 6 i u svakom idućem jedan broj više nego u prethodnom (brojevi u intervalima su uzastopni). Neka je $p_i$ udio prostih brojeva u $i$-tom intervalu. a) Dokaži ili opovrgni: Postoji beskonačno brojeva $k$ za koje je $ p_{k+1} < p_k$. b) Dokaži ili opovrgni: Postoji beskonačno brojeva $k$ za koje je $ p_{k+1} > p_k$.