Županijsko natjecanje 1996 SŠ4 3
Dodao/la:
arhiva1. travnja 2012. U trokutu
![A_1A_2A_3](/media/m/b/b/c/bbcede562021e40de971618cb504b791.png)
označimo:
![a_1=|A_2A_3|](/media/m/9/6/1/9618df5182b8822b99d66dd58f9ae06c.png)
,
![a_2=|A_1A_3|](/media/m/2/0/9/209960369b095303fc991cfdbf08e6bf.png)
,
![a_3=|A_1A_2|](/media/m/0/5/f/05f05f9354acc3f705b5242f1fada279.png)
. Duljine visina tog trokuta iz vrhova
![A_1](/media/m/5/a/6/5a6ce1347567551c02239ff8d4ebee67.png)
,
![A_2](/media/m/a/2/5/a25c6dade4a684fc874981a7d65625f5.png)
,
![A_3](/media/m/3/7/f/37f9a3367a1892709762f23648de2df5.png)
označimo redom sa
![v_1](/media/m/6/1/6/6165d9e5acdfc7747225f8b0d2ff08d6.png)
,
![v_2](/media/m/e/6/4/e6414beab20ce5c686c4dc67804cc4be.png)
,
![v_3](/media/m/5/d/3/5d3c60465ea69d7793ef21ccb9aa350d.png)
. Promatrajmo sve brojeve oblika
![a_1v_i + a_2v_j + a_3v_k](/media/m/0/2/8/028378895114a6584ea4c6d0330f5a81.png)
gdje je
![(i, j, k)](/media/m/9/4/7/94733254adc89ee7b4f1b8f8871a13dc.png)
bilo koja permutacija skupa
![\{1, 2, 3\}](/media/m/4/c/c/4ccd4e3eda9a6bd7a88ff4e73761ce04.png)
. Nađite najmanji od tih brojeva i izrazite ga pomoću površine
![P](/media/m/9/6/8/968d210d037e7e95372de185e8fb8759.png)
trokuta
![A_1A_2A_3](/media/m/b/b/c/bbcede562021e40de971618cb504b791.png)
.
%V0
U trokutu $A_1A_2A_3$ označimo: $a_1=|A_2A_3|$, $a_2=|A_1A_3|$, $a_3=|A_1A_2|$. Duljine visina tog trokuta iz vrhova $A_1$, $A_2$, $A_3$ označimo redom sa $v_1$, $v_2$, $v_3$. Promatrajmo sve brojeve oblika $a_1v_i + a_2v_j + a_3v_k$ gdje je $(i, j, k)$ bilo koja permutacija skupa $\{1, 2, 3\}$. Nađite najmanji od tih brojeva i izrazite ga pomoću površine $P$ trokuta $A_1A_2A_3$.
Izvor: Županijsko natjecanje iz matematike 1996