HMO 2014 - Prvi dan - Zadatak 2


Kvaliteta:
  Avg: 0,0
Težina:
  Avg: 5,0
Dodao/la: arhiva
17. listopada 2023.
LaTeX PDF

Dan je prirodni broj M\geqslant 3. Kažemo da je pravilni mnogokut sjajno obojan ako su sve njegove stranice i dijagonale obojane u točno M boja tako da ne postoje tri vrha tog mnogokuta koja određuju trokut čije su stranice obojane u točno dvije boje.

Neka je N najveći prirodni broj takav da postoji sjajno obojani pravilni mnogokut s točno N vrhova.

a) Dokaži da je N\leqslant (M-1)^2.
b) Ako je M-1 prosti broj, dokaži da postoji sjajno obojani pravilni mnogokut s točno (M-1)^2 vrhova.

Izvor: Hrvatska matematička olimpijada 2014.