Školjka

%V0 U trokutu $A_1A_2A_3$ označimo: $a_1=|A_2A_3|$, $a_2=|A_1A_3|$, $a_3=|A_1A_2|$. Duljine visina tog trokuta iz vrhova $A_1$, $A_2$, $A_3$ označimo redom sa $v_1$, $v_2$, $v_3$. Promatrajmo sve brojeve oblika $a_1v_i + a_2v_j + a_3v_k$ gdje je $(i, j, k)$ bilo koja permutacija skupa $\{1, 2, 3\}$. Nađite najmanji od tih brojeva i izrazite ga pomoću površine $P$ trokuta $A_1A_2A_3$.

%V0 Neka je $S$ točka na stranici $\overline{AB}$ danog šiljastokutnog trokuta $ABC$ i neka su $P$ i $Q$ središta kružnica opisanih trokutima $ASC$ i $BSC$. Odredite položaj točke $S$ (na stranici $\overline{AB}$) tako da trokut $PQS$ ima najmanju moguću površinu.

%V0 Točka $P$ je polovište tetive parabole $\cal{P}$ u čijim su krajevima povučene tangente na tu parabolu. Neka je $T$ sjecište tih tangenata. Dokaži da polovište dužine $\overline{PT}$ leži na paraboli.

%V0 Dana je parabola $y^2=2px$, $p>0$. Na paraboli su dane točke $A$, $B$ i $C$ ($A$ ima najveću, a $C$ najmanju ordinatu) tako da je simetrala kuta $\angle ABC$ paralelna s $x$-osi. Ako je duljina projekcije dužine $\overline{AC}$ na $y$-os jednaka $4p$, odredi ordinatu polovišta dužine $\overline{BC}$.

%V0 Neka je $n\ge 3$ prirodni broj. U kružnicu je upisan $n$-terokut $A_1A_2\ldots A_n$. Dokaži da postoje tri vrha $A,B,C\in\{A_1,\ldots,A_n\}$ za koje vrijedi $$ |AB|^2+|BC|^2+|CA|^2\ge |A_1A_2|^2+|A_2A_3|^2+\ldots+|A_iA_{i+1}|^2+\ldots+|A_nA_1|^2. $$

%V0 Kružnice $k_1$ i $k_2$, polumjera $r$ i $R$ redom ($r<R$) dodiruju se iznutra u točki $A$. Neka je $p$ pravac paralelan njihovoj zajedničkoj tangenti, neka je $B$ jedno sjecište pravca $p$ s kružnicom $k_1$, a $C$ jedno sjecište pravca $p$ s kružnicom $k_2$, tako da se točke $B$ i $C$ nalaze s iste strane pravca koji spaja središta danih kružnica. Dokaži da polumjer kružnice opisane trokutu $ABC$ ne ovisi o izboru pravca $p$ i izrazi taj polumjer pomoću $r$ i $R$.