Državno natjecanje 2010 SŠ1 5
Kvaliteta:
Avg: 2,5Težina:
Avg: 3,3 Dana je dvadeset i jedna točka kao na slici.
![\setlength{\unitlength}{25pt}
\begin{center}
\begin{picture}(4.2, 4.2)
\multiput(0, 0)(2, 0){3}{\line(0, 1){4}}
\multiput(0, 0)(0, 2){3}{\line(1, 0){4}}
\put(1, 0){\line(1, 1){3}}
\put(1, 0){\line(-1, 1){1}}
\put(3, 0){\line(1, 1){1}}
\put(3, 0){\line(-1, 1){3}}
\put(1, 4){\line(1, -1){3}}
\put(1, 4){\line(-1, -1){1}}
\put(3, 4){\line(1, -1){1}}
\put(3, 4){\line(-1, -1){3}}
\multiput(0, 0)(1, 0){5}{\circle*{0.2}}
\multiput(0, 2)(1, 0){5}{\circle*{0.2}}
\multiput(0, 4)(1, 0){5}{\circle*{0.2}}
\multiput(0, 1)(2, 0){3}{\circle*{0.2}}
\multiput(0, 3)(2, 0){3}{\circle*{0.2}}
\end{picture}
\end{center}](/media/m/f/7/0/f70ab4544baf6dce84615aee44243c2b.png)
Na početku je svakoj točki pridružen broj nula. U svakom potezu odabire se pravac koji sadrži neku od nacrtanih dužina i u svim točkama kroz koje taj pravac prolazi, pridruženi brojevi se povećavaju za
.
Kažemo da je prirodni broj
dohvatljiv ako se na opisani način može postići da je nakon određenog broja poteza svim točkama pridružen isti broj
.
a) Dokaži da je broj
dohvatljiv.
b) Dokaži da broj
nije dohvatljiv.
![\setlength{\unitlength}{25pt}
\begin{center}
\begin{picture}(4.2, 4.2)
\multiput(0, 0)(2, 0){3}{\line(0, 1){4}}
\multiput(0, 0)(0, 2){3}{\line(1, 0){4}}
\put(1, 0){\line(1, 1){3}}
\put(1, 0){\line(-1, 1){1}}
\put(3, 0){\line(1, 1){1}}
\put(3, 0){\line(-1, 1){3}}
\put(1, 4){\line(1, -1){3}}
\put(1, 4){\line(-1, -1){1}}
\put(3, 4){\line(1, -1){1}}
\put(3, 4){\line(-1, -1){3}}
\multiput(0, 0)(1, 0){5}{\circle*{0.2}}
\multiput(0, 2)(1, 0){5}{\circle*{0.2}}
\multiput(0, 4)(1, 0){5}{\circle*{0.2}}
\multiput(0, 1)(2, 0){3}{\circle*{0.2}}
\multiput(0, 3)(2, 0){3}{\circle*{0.2}}
\end{picture}
\end{center}](/media/m/f/7/0/f70ab4544baf6dce84615aee44243c2b.png)
Na početku je svakoj točki pridružen broj nula. U svakom potezu odabire se pravac koji sadrži neku od nacrtanih dužina i u svim točkama kroz koje taj pravac prolazi, pridruženi brojevi se povećavaju za
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
Kažemo da je prirodni broj
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
a) Dokaži da je broj
![2010](/media/m/1/2/0/12072ab28a60217d6f9304ff6d146d6a.png)
b) Dokaži da broj
![2011](/media/m/2/5/c/25c698832acbf155cc1facd48e31d6e3.png)
Izvor: Državno natjecanje iz matematike 2010