Državno natjecanje 2012 SŠ1 4
Dodao/la:
arhiva1. travnja 2012. Neka je trokut
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
s tupim kutom kod vrha
![B](/media/m/c/e/e/ceebc05be717fa6aab8e71b02fe3e4e3.png)
, neka su
![D](/media/m/7/0/0/7006c4b57335ab717f8f20960577a9ef.png)
i
![E](/media/m/8/b/0/8b01e755d2253cb9a52f9e451d89ec11.png)
polovišta stranica
![\overline{AB}](/media/m/a/1/a/a1a42310b1a849922197735f632d57ec.png)
i
![\overline{AC}](/media/m/d/9/5/d95354f0f833a5fda9c16a01a878c14f.png)
redom,
![F](/media/m/3/e/8/3e8bad5df716d332365fca76f53c1743.png)
točka na stranici
![\overline{BC}](/media/m/8/8/1/8818caad7d36e134c54122cbf46f1cd9.png)
takva da je
![\angle BFE](/media/m/d/4/e/d4ef21ac3d3f662b5fffbe5ebfa0c199.png)
pravi, te
![G](/media/m/f/e/b/feb7f8fc95cee3c3a479382202e06a86.png)
točka na dužini
![\overline{DE}](/media/m/f/f/1/ff1151be8c83f905b39371ec47cb7144.png)
takva da je kut
![\angle BGE](/media/m/3/7/5/375b3e6c463855911c2f8331513c4771.png)
pravi.
Dokaži da točke
![A](/media/m/5/a/e/5ae81275ee67d638485e903bdc0e9cde.png)
,
![F](/media/m/3/e/8/3e8bad5df716d332365fca76f53c1743.png)
i
![G](/media/m/f/e/b/feb7f8fc95cee3c3a479382202e06a86.png)
leže na istom pravcu ako i samo ako je
![2|BF|=|CF|](/media/m/3/a/4/3a44bf0d12059db7e5b33a0a27815d76.png)
.
%V0
Neka je trokut $ABC$ s tupim kutom kod vrha $B$, neka su $D$ i $E$ polovišta stranica $\overline{AB}$ i $\overline{AC}$ redom, $F$ točka na stranici $\overline{BC}$ takva da je $\angle BFE$ pravi, te $G$ točka na dužini $\overline{DE}$ takva da je kut $\angle BGE$ pravi.
Dokaži da točke $A$, $F$ i $G$ leže na istom pravcu ako i samo ako je $2|BF|=|CF|$.
Izvor: Državno natjecanje iz matematike 2012