Školjka

%V0 Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $ab + bc + ca = 1$. Pokažite da vrijedi $$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \geqslant \sqrt 3 + \frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ca}{c+a}$$

%V0 Za koje $k$ je moguće postaviti konačan broj kraljica na beskonačnu šahovsku ploču tako da svaka napada točno $k$ drugih?

%V0 Unutarnja točka $P$ u pravokutniku $ABCD$ odabrana je tako da je $\angle{BPC}+\angle{APD}=180^\circ$. Odredi sumu kutova $\angle{BCP}$ i $\angle{DAP}$.

%V0 Imamo različite proste brojeve $p_1$, $p_2$, $\ldots$, $p_{31}$. Dokaži da, ako $30$ dijeli sumu njihovih četvrtih potencija, među njima postoje $3$ uzastopna prosta.

%V0 Za realne brojeve $a$ i $b$ vrijedi $a+b = 1$, $a > 0$, $b > 0$. Dokažite da je $$2 < \left(a-\frac{1}{a}\right) \left(b-\frac{1}{b}\right) \leq \frac{9}{4}.$$

%V0 Skup $S$ sastoji se od $14$ prirodnih brojeva. Pokažite da postoji $k\in\{1, \ldots, 7\}$ za koji je moguće naci $k$-člane disjunktne podskupove $\{a_1, \ldots, a_k\}$ i $\{b_1, \ldots, b_k\}$ skupa $S$ tako da se sume $$ A = \frac{1}{a_1} + \cdots + \frac{1}{a_k}, \quad B = \frac{1}{b_1} + \cdots + \frac{1}{b_k}$$ razlikuju za manje od $0.001$.

%V0 U paralelogramu površine $S$ odabrana je točka $P$. Dokaži nejednakost: $|AP|\cdot|CP|+|BP|\cdot|CP| \geqslant S$.

%V0 Nađite sve prirodne brojeve $x$ i $y$ za koje vrijedi $1! + 2! + 3! + \cdots + x! = y^2$.

%V0 Nađite sve realne brojeve $x,y,z$ za koje istovremeno vrijedi $x^2-4y+7=0$, $y^2-6z+14=0$ i $z^2-2x-7=0$.

%V0 U konveksnom četverokutu $ABCD$ vrijedi $|AD| = |CD|$ i $\angle{DAB} = \angle{ABC} < 90^\circ$. Pravac kroz $D$ i polovište $\overline{BC}$ siječe pravac $AB$ u točki $E$. Dokažite da je $\angle{BEC} = \angle{DAC}$.

%V0 Za sustav novčanica $1 = n_1 < n_2, ... < n_k$ kažemo da je dobar ako "greedy" postupak vraćanja novca uvijek rezultira s najmanjim brojem isplaćenih novčanica. Dokažite da je sustav $1 < b < a$ dobar ako i samo ako postoji $k \in \mathbb{N}$ takav da je $\lceil\frac{a}{k}\rceil = b$. [i]Napomena: U greedy postupku u svakom koraku vraćamo najviše moguće najvećih mogućih novčanica. Nadalje, $\lceil x\rceil$ označava najmanji cijeli broj veći od (ili jednak) $x$.[/i]

%V0 Za koje $n \in \mathbb{N}$ postoji $k\in\mathbb{N}$ takav da $n^k$ ima istu prvu i zadnju znamenku u bazi $10$?