Školjka

Neka su realni brojevi. Dokaži:

Neka su i pozitivni racionalni brojevi. Definiramo niz rekurzivno tako da vrijedi , , te za svaki prirodan broj vrijedi Odredi sve parove za koje je racionalan za svaki prirodan broj .

Neka je najveći zajednički djelitelj prirodnih brojeva . Neka je broj prirodnih brojeva takvih da , a neka je broj djeljitelja . Dokaži:

Kada vrijedi jednakost?

Dan je šiljastokutan trokut u kojem vrijedi . Neka je njegova opisana kružnica. Neka je točka na , na manjem luku , takva da vrijedi . Neka je točka na stranici takva da vrijedi . Neka je točka osnosimetrična polovištu dužine s obzirom na pravac . Dokaži da kružnica opisana trokutu prolazi kroz ako i samo ako joj je središte na .

Neka je prirodan broj. Promotrimo skup od bakterija, takav da svaka bakterija osim jedne, koju ćemo zvati Kraljica, ima točno jednu majku (također bakteriju iz skupa). Kraljica nema niti jednu majku te je predak svim drugim bakterijama. Nijedna bakterija nije majka sama sebi. Kažemo da je bakterija tetka bakterije ako nije majka od i majka od je majka majke od . Odredi maksimalan broj parova bakterija takvih da je tetka od .

(Napomena: Kažemo da je bakterija predak bakterije ako postoji niz bakterija takav da , te je majka za svaki )